Seja pi o plano que contém o pontos A(3,7,1) e é paralelo aos vetores u=(1,1,1) e v=(1,1,0).
c) Obternha a equação geral de pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a equação geral do plano pi que passa pelo ponto A(3,7,1) e é paralelo aos vetores u = (1,1,1) e v = (1,1,0). Vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para encontrar a equação de um plano, precisamos de um vetor normal a ele. Como o plano é paralelo aos vetores u e v, podemos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial entre u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n = u times v:
n = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
n = i(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = i(-1) - j(-1) + k(0) = (-1, 1, 0)
Então, o vetor normal é n = (-1, 1, 0).

Passo 4

Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é o ponto A(3,7,1) e (A, B, C) são as componentes do vetor normal n = (-1, 1, 0).

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
-1(x - 3) + 1(y - 7) + 0(z - 1) = 0
Simplificando:
- x + 3 + y - 7 + 0 = 0
- x + y - 4 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é -x + y - 4 = 0.

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