Calcule a distância do ponto (3,5) à reta r : lx=3 t y=1-2 t, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A gente quer descobrir qual é a distância entre o ponto r: x = 3t y = 1 - 2t , t in R e a reta que está definida pelas equações paramétricas:
Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como medir a distância entre um ponto e uma reta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações paramétricas da reta x = 3t e y = 1 - 2t para a forma geral da reta, que é mais fácil de usar na fórmula da distância. As equações dadas são:
t = x3
Vamos isolar y = 1 - 2( x3 ) = 1 - 23x na primeira equação:
y = -23x + 1
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Então, a equação da reta na forma geral fica:

Passo 3

A próxima etapa é lembrar da fórmula que calcula a distância de um ponto d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 até uma reta definida pela equação geral . A fórmula é:

Passo 4

Precisamos colocar a equação da reta 23x + y - 1 = 0 na forma geral 2x + 3y - 3 = 0 . Da equação a = 2, b = 3, c = -3 , fazemos:
Para eliminar o denominador, multiplicamos todos os termos por 3:
Agora temos os valores dos coeficientes:

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula da distância usando o ponto d = |2 cdot 3 + 3 cdot 5 - 3|raiz2^2 + 3^2 = |6 + 15 - 3|raiz4 + 9 = |18|raiz13 :

Passo 6

Agora, simplificamos os cálculos:
d = 18raiz13 approx 183,606 approx 4,99

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é aproximadamente 4,99 unidades.

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