Calcule a distância entre os pontos dados.a) A (5, 2) e B (1, 3);b) C (–1, 4) e D (–2, –3);c) E (–4, –3) e F (0, 0);d) G (–5, 4) e H (2, –5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tá na área de Geometria Analítica, mais especificamente usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. O que vamos precisar aqui são as coordenadas dos pontos e a fórmula para calcular a distância entre eles. Vamos calcular as distâncias entre os pontos a) A (5, 2) e B (1, 3); b) C (–1, 4) e D (–2, –3); c) E (–4, –3) e F (0, 0); d) G (–5, 4) e H (2, –5).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos. Se temos dois pontos $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras, onde a distância entre os pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelas diferenças das coordenadas.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para o item a) A (5, 2) e B (1, 3).
Identificamos:
- $ x_1 = 5 $
- $ y_1 = 2 $
- $ x_2 = 1 $
- $ y_2 = 3 $
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 4
Para o item b) C (–1, 4) e D (–2, –3), vamos identificar as coordenadas:
- $ x_1 = -1 $
- $ y_1 = 4 $
- $ x_2 = -2 $
- $ y_2 = -3 $
Substituindo na fórmula da distância:
Passo 5
Agora, vamos para o item c) E (–4, –3) e F (0, 0).
Coordenadas:
- $ x_1 = -4 $
- $ y_1 = -3 $
- $ x_2 = 0 $
- $ y_2 = 0 $
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Por fim, o item d) G (–5, 4) e H (2, –5).
Identificamos:
- $ x_1 = -5 $
- $ y_1 = 4 $
- $ x_2 = 2 $
- $ y_2 = -5 $
Substituindo na fórmula da distância:
Resposta
As distâncias entre os pontos são:
a) $ \sqrt{17} $ unidades;
b) $ 5\sqrt{2} $ unidades;
c) 5 unidades;
d) $ \sqrt{130} $ unidades.