(UFMG) No paralelogramo ABCD, temos AB = DB = CD e AD = 1/2AB. Se AB = 4 cm, então a área do paralelogramo, em cm², é:
a)4√2
b)6√2
c)6√3
d)2√15
a)4√2
b)6√2
c)6√3
d)2√15
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelogramo ABCD onde:
- $ AB = DB = CD $
- $ AD = \frac{1}{2} AB $
- $ AB = 4 $ cm
A matéria que vamos usar aqui é geometria de paralelogramos e algumas fórmulas de trigonometria para calcular áreas. Vamos precisar entender as propriedades dos paralelogramos e como relacionar os lados e os ângulos para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já conhecemos:
- $ AB = 4 $ cm
- $ AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 4 = 2 $ cm
Então, os lados adjacentes do paralelogramo são 4 cm e 2 cm.
Passo 3
Sabemos que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e os ângulos opostos também são iguais. Além disso, as diagonais não necessariamente são iguais a menos que o paralelogramo seja um retângulo.
Por isso, vamos usar a relação das diagonais para encontrar o ângulo entre os lados $ AB $ e $ AD $.
Passo 4
A diagonal $ DB $ é igual a 4 cm (já que $ DB = AB = 4 $ cm). Vamos usar a fórmula do comprimento da diagonal em um paralelogramo:
Onde $ \theta $ é o ângulo entre os lados $ AB $ e $ AD $.
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Vamos resolver a equação passo a passo:
Primeiro, elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Dividindo por 16:
Passo 6
Agora que temos $ \cos(\theta) = -\frac{1}{4} $, podemos encontrar $ \sin(\theta) $ usando a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Passo 7
A fórmula da área de um paralelogramo é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
A área do paralelogramo é $ 2\sqrt{15} $ cm². Portanto, a opção correta é a letra d) 2√15.