(UFMG) No paralelogramo ABCD, temos AB = DB = CD e AD = 1/2AB. Se AB = 4 cm, então a área do paralelogramo, em cm², é:
a)4√2
b)6√2
c)6√3
d)2√15

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelogramo ABCD onde:
  • $ AB = DB = CD $
  • $ AD = \frac{1}{2} AB $
  • $ AB = 4 $ cm
A matéria que vamos usar aqui é geometria de paralelogramos e algumas fórmulas de trigonometria para calcular áreas. Vamos precisar entender as propriedades dos paralelogramos e como relacionar os lados e os ângulos para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que já conhecemos:
  • $ AB = 4 $ cm
  • $ AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 4 = 2 $ cm
Então, os lados adjacentes do paralelogramo são 4 cm e 2 cm.

Passo 3

Sabemos que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e os ângulos opostos também são iguais. Além disso, as diagonais não necessariamente são iguais a menos que o paralelogramo seja um retângulo.
Por isso, vamos usar a relação das diagonais para encontrar o ângulo entre os lados $ AB $ e $ AD $.

Passo 4

A diagonal $ DB $ é igual a 4 cm (já que $ DB = AB = 4 $ cm). Vamos usar a fórmula do comprimento da diagonal em um paralelogramo:
DB
Onde $ \theta $ é o ângulo entre os lados $ AB $ e $ AD $.
Substituindo os valores conhecidos:
DB = AB = 4

Passo 5

Vamos resolver a equação passo a passo:
Primeiro, elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
16 = 16 + 4 + 16 cos(theta)
Simplificando:
16 = 20 + 16 cos(theta)
Subtraindo 20 de ambos os lados:
-4 = 16 cos(theta)
Dividindo por 16:
cos(theta) = -14

Passo 6

Agora que temos $ \cos(\theta) = -\frac{1}{4} $, podemos encontrar $ \sin(\theta) $ usando a identidade trigonométrica:
cos(theta) = -14
Substituindo:
sin(theta)

Passo 7

A fórmula da área de um paralelogramo é:
Área = AB times AD times sin(theta) Á
Substituindo os valores que temos:
Área = 4 times 2 times raiz154 Á
Simplificando:
Área = 8 times raiz154 = 2raiz15 Á

Resposta

A área do paralelogramo é $ 2\sqrt{15} $ cm². Portanto, a opção correta é a letra d) 2√15.

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