Calcule a distancia entre a reta e o plano : : e .
45. Encontre a distancia entre as retas e nos casos
a) e
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a distância entre duas retas no espaço. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço e como calcular a distância entre elas quando elas não são paralelas nem se cruzam (retas inclinadas). Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, produto vetorial e equações paramétricas das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro.
Para a reta :
Vamos reescrever a equação da reta em termos paramétricos. Vamos chamar o parâmetro dessa reta de .
Passo 3
Escolhemos como parâmetro para . Assim, podemos expressar e em termos de :
E isolando em termos de :
Portanto, a equação paramétrica da reta fica:
Passo 4
Agora, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica a direção em que a reta está.
Para , observando as equações:
Então, o vetor diretor de é:
Para z = 2s implies De, já temos as equações paramétricas com v = 1 -3 2 :
Então, o vetor diretor de é:
Passo 5
Para encontrar a distância entre as duas retas, precisamos verificar se elas são paralelas ou se são retas inclinadas (não paralelas e não se cruzam). Como os vetores diretores D = |(a - b) cdot (u times v)||u times v| e não são múltiplos um do outro, as retas são inclinadas.
A fórmula para a distância entre duas retas inclinadas é:
Onde:
é um ponto na reta
é um ponto na reta
e são os vetores diretores das retas
representa o produto vetorial
representa o produto escalar
Passo 6
Vamos escolher pontos específicos nas retas para x = 2, y = 3, z = 1 e 2 3 1 .
Para x = 0, y = -1, z = 0 , quando 0 -1 0 :
Então,
Para , quando :
Então,
Passo 7
Agora, calculamos a - b = 2 - 0 3 - (-1) 1 - 0 = 2 4 1 :
Passo 8
Em seguida, calculamos o produto vetorial u = -1 1 -2 , v = 1 -3 2 :