Calcule a distancia entre a reta r e o plano pi: r : lx=3 y=4 e pi: x+y-12=0.
45. Encontre a distancia entre as retas r1 e r2 nos casos
a) r1: x=2-t, y=3+t, z=1-2 t e r2: x=y+1-3=z2

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a distância entre duas retas no espaço. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço e como calcular a distância entre elas quando elas não são paralelas nem se cruzam (retas inclinadas). Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, produto vetorial e equações paramétricas das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
Para a reta x = 2 - t, y = 3 + t, z = 1 - 2t :
x = y + 1-3 = z2
Aqui, é o parâmetro.
Para a reta :
Vamos reescrever a equação da reta em termos paramétricos. Vamos chamar o parâmetro dessa reta de .

Passo 3

Escolhemos y + 1-3 = s implies y = -3s - 1 como parâmetro para z2 = s implies z = 2s . Assim, podemos expressar x = s e x = s, y = -3s - 1, z = 2s em termos de :
E isolando em termos de :
Portanto, a equação paramétrica da reta fica:

Passo 4

Agora, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica a direção em que a reta está.
Para x = 2 - t implies De, observando as equações:
y = 3 + t implies De
z = 1 - 2t implies De
u = -1 1 -2
Então, o vetor diretor de x = s implies De é:
y = -3s - 1 implies De
Para z = 2s implies De, já temos as equações paramétricas com v = 1 -3 2 :
Então, o vetor diretor de é:

Passo 5

Para encontrar a distância entre as duas retas, precisamos verificar se elas são paralelas ou se são retas inclinadas (não paralelas e não se cruzam). Como os vetores diretores D = |(a - b) cdot (u times v)||u times v| e não são múltiplos um do outro, as retas são inclinadas.
A fórmula para a distância entre duas retas inclinadas é:
Onde:
  • é um ponto na reta
  • é um ponto na reta
  • e são os vetores diretores das retas
  • representa o produto vetorial
  • representa o produto escalar

Passo 6

Vamos escolher pontos específicos nas retas para x = 2, y = 3, z = 1 e 2 3 1 .
Para x = 0, y = -1, z = 0 , quando 0 -1 0 :
Então,
Para , quando :
Então,

Passo 7

Agora, calculamos a - b = 2 - 0 3 - (-1) 1 - 0 = 2 4 1 :

Passo 8

Em seguida, calculamos o produto vetorial u = -1 1 -2 , v = 1 -3 2 :
u times v = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2
= i(1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - j((-1) cdot 2 - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-3) - 1 cdot 1)
= i(2 - 6) - j(-2 - (-2)) + k(3 - 1)
= i(-4) - j(0) + k(2)
= -4 0 2

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar a - b = 2 4 1 , u times v = -4 0 2 :
(a - b) cdot (u times v) = 2 cdot (-4) + 4 cdot 0 + 1 cdot 2 = -8 + 0 + 2 = -6
|(a - b) cdot (u times v)| = |-6| = 6

Passo 10

Agora, calculamos o módulo de u times v = -4 0 2 :
|u times v| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Resposta

Portanto, a distância entre as retas D = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55 approx 1,34 unidades e é:

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