Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
a)
, e
.
a)
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve obedecer a duas propriedades principais:
- Aditividade (ou preservação da soma):
para todos os vetores e . - Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):
para todo escalar e vetor .
Vamos verificar se a função
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a aditividade. Suponha que temos dois vetores
e
. Então:
Por outro lado:
Em geral,
. Portanto, a propriedade da aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Como já falamos que a transformação linear precisa satisfazer tanto a aditividade quanto a homogeneidade, e vimos que a aditividade não é satisfeita, não precisamos testar a homogeneidade para concluir. A função
não é uma transformação linear porque não respeita a propriedade da aditividade.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz a propriedade da aditividade necessária para ser considerada linear.