Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
a) T: R^2 R, e T(x, y)=raizx^2+y^2.

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais deve obedecer a duas propriedades principais:
  1. Aditividade (ou preservação da soma): para todos os vetores e .
  2. Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar): para todo escalar e vetor .
Vamos verificar se a função satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a aditividade. Suponha que temos dois vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = raiz(x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 e T(u) + T(v) = raizx1^2 + y1^2 + raizx2^2 + y2^2 . Então:
Por outro lado:
Em geral, . Portanto, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como já falamos que a transformação linear precisa satisfazer tanto a aditividade quanto a homogeneidade, e vimos que a aditividade não é satisfeita, não precisamos testar a homogeneidade para concluir. A função não é uma transformação linear porque não respeita a propriedade da aditividade.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz a propriedade da aditividade necessária para ser considerada linear.

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