Dada a reta r:(x, y, z)=(-1,2,3)+t(2,-3,0), escrever equações paramétricas de r.
11. Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1,2,3) e é paralela à reta r : (x, y, z)=(1,4,3)+t(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para a gente escrever as equações paramétricas da reta que está dada na forma vetorial . Vou te mostrar como fazer isso passo a passo. A matéria que estamos usando aqui é a geometria analítica, especificamente a parte das retas no espaço. Vamos precisar entender o que são vetor diretor e pontos na reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos na forma vetorial da reta. A forma geral é , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta. No nosso caso, e .

Passo 3

As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos x = -1 + 2t y = 2 - 3t z = 3 + 0t , , e , , . Substituindo esses valores nas equações paramétricas, ficamos com:

Passo 5

Simplificando a última equação, já que z = 3 , temos:

Passo 6

Agora vamos para a segunda parte do exercício: escrever as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela à reta . Aqui, também estamos usando geometria analítica e precisamos entender o conceito de retas paralelas e como elas compartilham o mesmo vetor diretor.

Passo 7

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A forma vetorial da reta é , então o vetor diretor é .

Passo 8

Como queremos uma reta paralela a , ela deve ter o mesmo vetor diretor. Além disso, queremos que essa nova reta passe pelo ponto .

Passo 9

Usando a mesma lógica das equações paramétricas, a reta que passa por x = xA + a t y = yA + b t z = zA + c t e é paralela a terá a forma:
onde e .

Passo 10

Substituindo os valores, temos:
x = 1 + 0t y = 2 + 0t z = 3 + t

Resposta

As equações paramétricas da reta que passa por x = 1 y = 2 z = 3 + t e é paralela à reta são:

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