Seja o triângulo de vértices A(-1,4,2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado A B e pelo vértice oposto a C.
17. verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a reta.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um triângulo com vértices em A(-1,4,2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4). Precisamos:
  1. Encontrar o ponto médio do lado AB.
  2. Escrever as equações paramétricas da reta que passa por esse ponto médio e pelo vértice oposto a C, que é C.
  3. Verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) estão nessa reta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como encontrar o ponto médio entre dois pontos e escrever equações paramétricas de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado AB. O ponto médio M entre dois pontos A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB) é dado pela fórmula:
M( xA + xB2, yA + yB2, zA + zB2 )
Então, substituindo os valores de A(-1,4,2) e B(3,-3,6):
M( -1 + 32, 4 + (-3)2, 2 + 62 ) = M( 22, 12, 82 ) = M(1, 0.5, 4)

Passo 3

Agora, queremos a equação da reta que passa pelo ponto médio M(1, 0.5, 4) e pelo vértice oposto a C, que é o próprio ponto C(2,-1,4). Para escrever as equações paramétricas da reta, precisamos de um ponto pela qual ela passa e de um vetor diretor.
O vetor diretor v pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de M e C:
v = C - M = (2 - 1, -1 - 0.5, 4 - 4) = (1, -1.5, 0)
Então, as equações paramétricas da reta são:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é o ponto M(1, 0.5, 4) e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor v(1, -1.5, 0).
Portanto:
x = 1 + t y = 0.5 - 1.5t z = 4 + 0t
Ou simplificando:
x = 1 + t y = 0.5 - 1.5t z = 4

Passo 4

Agora, vamos verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de t que satisfaz todas as equações simultaneamente.
Para P1(5,-4,6):
Substituímos x=5, y=-4, z=6 nas equações da reta:
  1. 5 = 1 + t Rightarrow t = 4
  2. -4 = 0.5 - 1.5t Rightarrow -4 - 0.5 = -1.5t Rightarrow -4.5 = -1.5t Rightarrow t = 3
  3. 6 = 4 Rightarrow Não satisfaz.
Como não existe um valor de t que satisfaça todas as equações, o ponto P1(5,-4,6) não pertence à reta.
Para P2(4,-1,12):
Substituímos x=4, y=-1, z=12 nas equações da reta:
  1. 4 = 1 + t Rightarrow t = 3
  2. -1 = 0.5 - 1.5t Rightarrow -1 - 0.5 = -1.5t Rightarrow -1.5 = -1.5t Rightarrow t = 1
  3. 12 = 4 Rightarrow Não satisfaz.
Novamente, não existe um valor de t que satisfaça todas as equações, então o ponto P2(4,-1,12) não pertence à reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 + t y = 0.5 - 1.5t z = 4
Além disso, os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) não pertencem à reta.

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