Seja o triângulo de vértices e . Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado e pelo vértice oposto a .
17. verificar se os pontos e pertencem a reta.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um triângulo com vértices em , e . Precisamos:
Encontrar o ponto médio do lado .
Escrever as equações paramétricas da reta que passa por esse ponto médio e pelo vértice oposto a , que é .
Verificar se os pontos e estão nessa reta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como encontrar o ponto médio entre dois pontos e escrever equações paramétricas de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado . O ponto médio entre dois pontos e é dado pela fórmula:
Então, substituindo os valores de e :
Passo 3
Agora, queremos a equação da reta que passa pelo ponto médio e pelo vértice oposto a , que é o próprio ponto . Para escrever as equações paramétricas da reta, precisamos de um ponto pela qual ela passa e de um vetor diretor.
O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de e :
Então, as equações paramétricas da reta são:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor diretor .
Portanto:
Ou simplificando:
x = 1 + t y = 0.5 - 1.5t z = 4
Passo 4
Agora, vamos verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a essa reta. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e vemos se existe um valor de t que satisfaz todas as equações simultaneamente.