Use o método do determinante (Cramer) para resolver os sistemas de equações:
Matrizes
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Demostre as propriedades de matrizes: I. Comutação na soma de matrizes; II. Associação na soma de matrizes; III. Comutação no produto de matrizes por escalar; IV. Associação no produto de matrizes e V. Distribuição no produto de matriz por uma soma de matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Cramer. O sistema é:
x - 3y + 3z = -4 2x + 3y - z = 15 4x - 3y - z = 19
Para aplicar o método de Cramer, a gente precisa primeiro montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.
Passo 2
Vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 1 & -3 & 3 2 & 3 & -1 4 & -3 & -1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz, que chamaremos de .
Passo 3
Calculando o determinante De:
De
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, encontramos:
De
De
De
Passo 4
Agora, vamos calcular os determinantes De, e substituindo a coluna dos coeficientes de , e pelas constantes do sistema.
Para , substituímos a primeira coluna:
Passo 5
Calculando De:
De
De
De
Passo 6
Para De, substituímos a segunda coluna:
Passo 7
Calculando De:
De
De
De
Passo 8
Para De, substituímos a terceira coluna:
Passo 9
Calculando De:
De
De
De
Passo 10
Agora, aplicamos a fórmula de Cramer para encontrar x = De, y = De e z = De:
Passo 11
Agora, vamos demonstrar as propriedades das matrizes.
Passo 12
I. Comutação na soma de matrizes
Isso significa que, para duas matrizes A + B = B + A e de mesma dimensão:
Explicação: Quando somamos duas matrizes, somamos elemento a elemento. Como a adição de números é comutativa (), a soma das matrizes também será a mesma independentemente da ordem.
Passo 13
II. Associação na soma de matrizes
Para três matrizes (A + B) + C = A + (B + C) , e de mesma dimensão:
Explicação: A soma de matrizes é associativa porque agrupamos os elementos a serem somados, e a ordem do agrupamento não altera o resultado final.
Passo 14
III. Comutação no produto de matrizes por escalar
Para uma matriz kA = Ak e um escalar :
Explicação: Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar. Como a multiplicação de números é comutativa (), essa propriedade também se aplica às matrizes.
Passo 15
IV. Associação no produto de matrizes
Para três matrizes (A cdot B) cdot C = A cdot (B cdot C) , e que podem ser multiplicadas entre si:
Explicação: A multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, não importa como agrupamos as matrizes ao multiplicar, o resultado será o mesmo.
Passo 16
V. Distribuição no produto de matriz por uma soma de matrizes
Para uma matriz A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C e matrizes e que podem ser multiplicadas:
Explicação: A multiplicação de uma matriz por uma soma de matrizes distribui-se sobre a adição, similar à propriedade distributiva na aritmética.
Resposta
Foram demonstradas as propriedades de comutação e associação na soma de matrizes, comutação no produto por escalar, associação no produto de matrizes e a distributividade do produto de matriz sobre a soma de matrizes.