Calcule a distância entre a reta r e o plano alpha, nos casos a seguir: r:(x, y, z)=(1,2,0)+h(-1,2,3), h in R, e s: x-12=y-23=-z.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a distância entre a reta r: x = 1 - h y = 2 + 2h z = 0 + 3h , h in R e o plano x-12 = y-23 = -z . Aqui, a reta está definida por:
E o plano é definido pela equação:
Para resolver esse problema, vamos precisar entender como calcular a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Vamos seguir os passos detalhados abaixo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano x-12 = y-23 = -z de uma forma mais familiar. A equação dada é:
x-12 = t e y-23 = t
Podemos igualar as duas primeiras frações a um parâmetro x = 2t + 1 y = 3t + 2 z = -t :
x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = -t
Então, temos:
Dessa forma, a equação paramétrica do plano fica:
Agora, identificamos a direção do plano a partir dos coeficientes de . Os vetores diretores do plano são .

Passo 3

Para encontrar a distância entre a reta D = |(P0 - Q) cdot n||n| e o plano , precisamos verificar se a reta está contida no plano ou se são paralelas, ou ainda se se intersectam.
A distância entre a reta e o plano pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é um ponto da reta ,
  • é um ponto do plano ,
  • é o vetor normal ao plano ,
  • representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos identificar os elementos necessários para a fórmula:
  1. Ponto na reta 2x + 3y + z = 8 : Podemos usar , então .
  2. Ponto no plano : Quando , temos .
  3. Vetor normal ao plano : O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano. Reescrevendo a equação do plano na forma implícita:
Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
D = |(P0 - Q) cdot n||n|
Substituindo os valores:
P0 - Q = (1-1, 2-2, 0-0) = (0, 0, 0)
(P0 - Q) cdot n = 0 times 2 + 0 times 3 + 0 times 1 = 0
|n| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Então:
D = |0|raiz14 = 0

Resposta

A distância entre a reta e o plano é . Isso significa que a reta está contida no plano.

Exercícios relacionados