Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a distância entre a reta e o plano . Aqui, a reta está definida por:
E o plano é definido pela equação:
Para resolver esse problema, vamos precisar entender como calcular a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Vamos seguir os passos detalhados abaixo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Podemos igualar as duas primeiras frações a um parâmetro :
Então, temos:
Dessa forma, a equação paramétrica do plano fica:
Agora, identificamos a direção do plano a partir dos coeficientes de . Os vetores diretores do plano são .
Passo 3
Para encontrar a distância entre a reta e o plano , precisamos verificar se a reta está contida no plano ou se são paralelas, ou ainda se se intersectam.
A distância entre a reta e o plano pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
é um ponto da reta ,
é um ponto do plano ,
é o vetor normal ao plano ,
representa o produto escalar.
Passo 4
Vamos identificar os elementos necessários para a fórmula:
Ponto na reta : Podemos usar , então .
Ponto no plano : Quando , temos .
Vetor normal ao plano : O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano. Reescrevendo a equação do plano na forma implícita:
Então, .
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da distância:
Substituindo os valores:
Então:
Resposta
A distância entre a reta e o plano é . Isso significa que a reta está contida no plano.