Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a distância entre a reta e o plano . Aqui, a reta está definida por:
E o plano é definido pela equação:
Para resolver esse problema, vamos precisar entender como calcular a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Vamos seguir os passos detalhados abaixo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Podemos igualar as duas primeiras frações a um parâmetro :
Então, temos:
Dessa forma, a equação paramétrica do plano fica:
Agora, identificamos a direção do plano a partir dos coeficientes de . Os vetores diretores do plano são .

Passo 3

Para encontrar a distância entre a reta e o plano , precisamos verificar se a reta está contida no plano ou se são paralelas, ou ainda se se intersectam.
A distância entre a reta e o plano pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é um ponto da reta ,
  • é um ponto do plano ,
  • é o vetor normal ao plano ,
  • representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos identificar os elementos necessários para a fórmula:
  1. Ponto na reta : Podemos usar , então .
  2. Ponto no plano : Quando , temos .
  3. Vetor normal ao plano : O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano. Reescrevendo a equação do plano na forma implícita:
Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
Substituindo os valores:
Então:

Resposta

A distância entre a reta e o plano é . Isso significa que a reta está contida no plano.

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