Encontre uma equação da reta que passa por , é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor v=(1,-3,1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma reta x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = -1 , t in R que passa pelo ponto , que seja concorrente com a reta definida por:
Além disso, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, condições de ortogonalidade e pontos de interseção entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as retas x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = -1 e x = 1 + alambda y = -2 + blambda z = 3 + clambda , lambda in R sejam concorrentes. Isso quer dizer que elas se cruzam em algum ponto. Então, vamos encontrar esse ponto de interseção.
A reta é dada pelas equações paramétricas:
Como a reta passa pelo ponto , vamos supor que ela tenha a seguinte forma paramétrica:
Onde é o vetor diretor da reta que precisamos determinar.
Passo 3
Para que as duas retas se interseccionem, deve existir um par de valores 2 + 3t = 1 + alambda 1 + 2t = -2 + blambda -1 = 3 + clambda e -1 = 3 + clambda implies clambda = -4 implies lambda = -4c tais que as coordenadas 2 + 3t = 1 + a(-4c) 1 + 2t = -2 + b(-4c) sejam iguais nas duas retas. Ou seja:
Vamos resolver a última equação primeiro:
Substituindo nas duas primeiras equações:
Vamos simplificar essas equações para encontrar uma relação entre e os componentes do vetor diretor .
Como ambas as expressões representam -13 - 4a3c = -32 - 2bc , podemos igualá-las:
-2c - 8a = -9c - 12b
Multiplicando todos os termos por 7c = 8a - 12b para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Essa é uma relação entre e que precisamos considerar.
Passo 5
Lembrando que o vetor diretor d cdot v = a cdot 1 + b cdot (-3) + c cdot 1 = 0 implies a - 3b + c = 0 da reta 7c = 8a - 12b a - 3b + c = 0 deve ser ortogonal ao vetor . Para vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre e .