Encontre uma equação da reta r que passa por P(1,-2,3), é concorrente com a reta s:lx=2+3 t y=1+2 t z=-1, t in R e tem vetor diretor ortogonal ao vetor v=(1,-3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma reta x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = -1 , t in R que passa pelo ponto , que seja concorrente com a reta definida por:
Além disso, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, condições de ortogonalidade e pontos de interseção entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as retas x = 2 + 3t y = 1 + 2t z = -1 e x = 1 + alambda y = -2 + blambda z = 3 + clambda , lambda in R sejam concorrentes. Isso quer dizer que elas se cruzam em algum ponto. Então, vamos encontrar esse ponto de interseção.
A reta é dada pelas equações paramétricas:
Como a reta passa pelo ponto , vamos supor que ela tenha a seguinte forma paramétrica:
Onde é o vetor diretor da reta que precisamos determinar.

Passo 3

Para que as duas retas se interseccionem, deve existir um par de valores 2 + 3t = 1 + alambda 1 + 2t = -2 + blambda -1 = 3 + clambda e -1 = 3 + clambda implies clambda = -4 implies lambda = -4c tais que as coordenadas 2 + 3t = 1 + a(-4c) 1 + 2t = -2 + b(-4c) sejam iguais nas duas retas. Ou seja:
Vamos resolver a última equação primeiro:
Substituindo nas duas primeiras equações:
Vamos simplificar essas equações para encontrar uma relação entre e os componentes do vetor diretor .

Passo 4

Vamos reorganizar as equações:
3t = -1 - 4ac implies t = -13 - 4a3c 2t = -3 - 4bc implies t = -32 - 2bc
Como ambas as expressões representam -13 - 4a3c = -32 - 2bc , podemos igualá-las:
-2c - 8a = -9c - 12b
Multiplicando todos os termos por 7c = 8a - 12b para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Essa é uma relação entre e que precisamos considerar.

Passo 5

Lembrando que o vetor diretor d cdot v = a cdot 1 + b cdot (-3) + c cdot 1 = 0 implies a - 3b + c = 0 da reta 7c = 8a - 12b a - 3b + c = 0 deve ser ortogonal ao vetor . Para vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre e .

Passo 6

Da segunda equação:
a = 3b - c
Substituindo na primeira equação:
7c = 8(3b - c) - 12b 7c = 24b - 8c - 12b 7c = 12b - 8c 15c = 12b b = 1512c = 54c
Agora, substituindo a = 3 ( 54c ) - c = 154c - c = 114c na equação a = 114 times 4 = 11 b = 54 times 4 = 5 c = 4 :
Portanto, as componentes do vetor diretor são proporcionais a . Podemos escolher para simplificar:
Então, o vetor diretor .

Passo 7

Agora, temos o ponto x = 1 + 11lambda y = -2 + 5lambda z = 3 + 4lambda , lambda in R e o vetor diretor . Portanto, a equação paramétrica da reta é:

Resposta

A equação da reta boxed x = 1 + 11lambda y = -2 + 5lambda z = 3 + 4lambda , lambda in R é:

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