Encontre uma equação da reta que passa por , é concorrente com a reta e tem vetor diretor ortogonal ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto , que seja concorrente com a reta definida por:
Além disso, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, condições de ortogonalidade e pontos de interseção entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as retas e sejam concorrentes. Isso quer dizer que elas se cruzam em algum ponto. Então, vamos encontrar esse ponto de interseção.
A reta é dada pelas equações paramétricas:
Como a reta passa pelo ponto , vamos supor que ela tenha a seguinte forma paramétrica:
Onde é o vetor diretor da reta que precisamos determinar.
Passo 3
Para que as duas retas se interseccionem, deve existir um par de valores e tais que as coordenadas sejam iguais nas duas retas. Ou seja:
Vamos resolver a última equação primeiro:
Substituindo nas duas primeiras equações:
Vamos simplificar essas equações para encontrar uma relação entre e os componentes do vetor diretor .
Passo 4
Vamos reorganizar as equações:
Como ambas as expressões representam , podemos igualá-las:
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Essa é uma relação entre e que precisamos considerar.
Passo 5
Lembrando que o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor . Para vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero:
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre e .
Passo 6
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na equação :
Portanto, as componentes do vetor diretor são proporcionais a . Podemos escolher para simplificar:
Então, o vetor diretor .
Passo 7
Agora, temos o ponto e o vetor diretor . Portanto, a equação paramétrica da reta é: