Estude as posições relativas do planos: pi1: x-y+2 z-2=0 e pi2: P=(0,0,1)+h(1,0,3)+t(-1,1,1), h, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar as posições relativas entre dois planos no espaço. Isso envolve geometria analítica, onde a gente precisa identificar se os planos são paralelos, coincidentes ou se cruzam em uma reta. Para resolver, precisamos das equações dos dois planos e analisar seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações dos planos que a gente tem:
  • Plano :
  • Plano : , onde
O plano está dado de forma paramétrica, então vamos precisar transformar isso para uma forma que facilite comparar com .

Passo 3

Vamos encontrar os vetores normais de cada plano, que são essenciais para determinar como os planos se relacionam.
Para n1 = (1, -1, 2) , o vetor normal n2 = v1 times v2 = i & j & k 1 & 0 & 3 -1 & 1 & 1 = (-3, -4, 1) vem direto dos coeficientes de n2 = (-3, -4, 1) :
Para , temos os vetores diretores e . O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Então,

Passo 4

Agora, vamos ver se os vetores normais -3 = k cdot 1 Rightarrow k = -3 e -4 = k cdot (-1) Rightarrow -4 = 3 (Não é verdade) são múltiplos um do outro. Se forem, os planos podem ser paralelos ou coincidentes. Se não forem, os planos se cruzam em uma reta.
Para verificar, procuramos um escalar tal que :
ãé
Como não há um que satisfaça todas as componentes, os vetores normais não são colineares. Portanto, os planos e se interceptam em uma reta.

Passo 5

Vamos encontrar a equação da reta de interseção. Primeiro, reescrevemos a equação de x = h - t de forma paramétrica:
y = t
z = 1 + 3h + t
(h - t) - t + 2(1 + 3h + t) = 2
Substituímos essas expressões na equação de h - t - t + 2 + 6h + 2t = 2 :
7h + 0t + 2 = 2
7h = 0 Rightarrow h = 0
x = -t
y = t
Com z = 1 + t , substituímos de volta:
R: (-t, t, 1 + t), t in R
Então, a reta de interseção é:

Resposta

Os planos e se interceptam em uma reta cuja equação paramétrica é , para todo .

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