Sejam e . Determine, se possível: D, tal que r subset beta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas equações de planos, beta e alpha, e uma reta r. Queremos determinar o valor de D de forma que a reta r esteja completamente dentro do plano beta.
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica, especificamente sobre a relação entre retas e planos no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
Entender como representar uma reta parametrizada.
Verificar se todos os pontos da reta r satisfazem a equação do plano beta.
Resolver a equação resultante para encontrar o valor de D.
Passo 2
Vamos começar identificando a equação do plano beta:
beta: x + y + z2 + D = 0
E a equação paramétrica da reta r:
r: x - 11 = -(y + 2)3 = z4
Podemos reescrever a equação da reta r em termos de um parâmetro t:
x = 1 + t y = -2 - 3t z = 4t
Explicação: Isso nos permite expressar quaisquer pontos na reta r em termos do parâmetro t.
Passo 3
Para que a reta r esteja contida no plano beta, todo ponto (x, y, z) da reta r deve satisfazer a equação de beta. Portanto, substituímos as expressões paramétricas de x, y e z na equação de beta:
(1 + t) + (-2 - 3t) + 4t2 + D = 0
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
1 + t - 2 - 3t + 2t + D = 0
Simplificando os termos semelhantes:
(1 - 2) + (t - 3t + 2t) + D = 0 -1 + 0t + D = 0
Ou seja:
-1 + D = 0
Passo 5
Resolvendo para D:
D = 1
Resposta
O valor de D que faz com que a reta r esteja contida no plano beta é D = 1.