Sejam e . Determine, se possível: , tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas equações de planos, e , e uma reta . Queremos determinar o valor de de forma que a reta esteja completamente dentro do plano .
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica, especificamente sobre a relação entre retas e planos no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender como representar uma reta parametrizada.
  • Verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano .
  • Resolver a equação resultante para encontrar o valor de .

Passo 2

Vamos começar identificando a equação do plano :
E a equação paramétrica da reta :
Podemos reescrever a equação da reta em termos de um parâmetro :
Explicação: Isso nos permite expressar quaisquer pontos na reta em termos do parâmetro .

Passo 3

Para que a reta esteja contida no plano , todo ponto da reta deve satisfazer a equação de . Portanto, substituímos as expressões paramétricas de , e na equação de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
Simplificando os termos semelhantes:
Ou seja:

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz com que a reta esteja contida no plano é .

Exercícios relacionados

Verdadeiro ou falso?
(d) para quaisquer números reais k e t.
Calcule a distância entre a reta e o plano , nos casos a seguir: , e .
(ii) Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto , é paralelo à reta , e é perpendicular ao plano .
Dadas as matrizes e , encontre a matriz em cada caso.