Dê uma equação vetorial da reta r, contida no plano pi: x+y=0, que forma um ângulo de 30^circ com o plano alpha: y-z=1 e dista 1 do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que encontrar a equação vetorial de uma reta que está contida no plano . Além disso, essa reta forma um ângulo de com o plano e está a uma distância de 1 unidade do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos, retas, ângulos entre planos e distância de ponto a reta.

Passo 2

Primeiro, como a reta está contida no plano , precisamos que qualquer ponto da reta satisfaça a equação desse plano. Isso significa que .

Passo 3

Para encontrar a direção da reta , vamos considerar que ela forma um ângulo de com o plano . O ângulo entre uma reta e um plano é complementar ao ângulo entre a direção da reta e a normal do plano. Então, o ângulo entre a direção da reta e o vetor normal do plano é .
A normal do plano é .

Passo 4

Usamos a fórmula do cosseno para encontrar a direção da reta:
cos(theta) = |v cdot nalpha||v| |nalpha|
Com cos(60^circ) = |v cdot (0, 1, -1)||v| raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = |vy - vz||v| raiz2 = 12 , temos:
|vy - vz| = |v| raiz22
Portanto:
|vy - vz| = 1
Podemos escolher para simplificar:

Passo 5

Agora, sabendo que a reta está a uma distância de 1 do eixo d = | v times (p - a) ||v| , usamos a fórmula da distância de uma reta a um ponto. O eixo é composto por pontos da forma .
A distância entre a reta e o ponto é dada por:
Onde é um ponto na reta . Como a distância é constante e igual a 1, ajustamos os parâmetros para satisfazer essa condição.

Passo 6

Vamos supor que a direção da reta |-1 - vz| = 1 seja -1 - vz = 1 ou -1 - vz = -1 por causa do plano vz = -2 ou vz = 0 , ou seja, . Substituindo na condição anterior:
Assim, temos duas possibilidades:
Resolvendo:

Passo 7

Vamos considerar . Então, a direção da reta é .
Agora, precisamos encontrar um ponto na reta que satisfaça a condição de estar a uma distância de 1 do eixo . Como a reta está no plano , podemos escolher , então . Vamos escolher , então . Substituindo na fórmula da distância e ajustando para que a distância seja 1.

Passo 8

Vamos determinar d = raiz(1)^2 + (z)^2 = raiz1 + z^2 = 1 . A distância do ponto 1 + z^2 = 1 implies z = 0 ao eixo (que é a linha ) é dada por:
Resolvendo:
Então, o ponto .

Passo 9

Com o ponto r(t) = a + tv = (-1, 1, 0) + t(1, -1, -2) e a direção x = -1 + t y = 1 - t z = -2t , a equação vetorial da reta é:
Ou, em termos paramétricos:

Resposta

A equação vetorial da reta r(t) = (-1,, 1,, 0) + t, (1,; -1,; -2) é:
onde é o parâmetro real.

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