Dê uma equação vetorial da reta , contida no plano , que forma um ângulo de com o plano e dista 1 do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que encontrar a equação vetorial de uma reta que está contida no plano . Além disso, essa reta forma um ângulo de com o plano e está a uma distância de 1 unidade do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos, retas, ângulos entre planos e distância de ponto a reta.
Passo 2
Primeiro, como a reta está contida no plano , precisamos que qualquer ponto da reta satisfaça a equação desse plano. Isso significa que .
Passo 3
Para encontrar a direção da reta , vamos considerar que ela forma um ângulo de com o plano . O ângulo entre uma reta e um plano é complementar ao ângulo entre a direção da reta e a normal do plano. Então, o ângulo entre a direção da reta e o vetor normal do plano é .
A normal do plano é .
Passo 4
Usamos a fórmula do cosseno para encontrar a direção da reta:
Com , temos:
Portanto:
Podemos escolher para simplificar:
Passo 5
Agora, sabendo que a reta está a uma distância de 1 do eixo , usamos a fórmula da distância de uma reta a um ponto. O eixo é composto por pontos da forma .
A distância entre a reta e o ponto é dada por:
Onde é um ponto na reta . Como a distância é constante e igual a 1, ajustamos os parâmetros para satisfazer essa condição.
Passo 6
Vamos supor que a direção da reta seja por causa do plano , ou seja, . Substituindo na condição anterior:
Assim, temos duas possibilidades:
Resolvendo:
Passo 7
Vamos considerar . Então, a direção da reta é .
Agora, precisamos encontrar um ponto na reta que satisfaça a condição de estar a uma distância de 1 do eixo . Como a reta está no plano , podemos escolher , então . Vamos escolher , então . Substituindo na fórmula da distância e ajustando para que a distância seja 1.
Passo 8
Vamos determinar . A distância do ponto ao eixo (que é a linha ) é dada por:
Resolvendo:
Então, o ponto .
Passo 9
Com o ponto e a direção , a equação vetorial da reta é: