Determine circ ângulo entre a reta x-11=y+2-2=z-31 e o plano 2 x-y+ 3 z=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre uma reta e um plano no espaço. Aqui, estamos lidando com geometria espacial. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores direção da reta e o vetor normal do plano. Depois, usaremos uma fórmula que relaciona esses vetores para encontrar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor direção da reta. A equação simétrica da reta é dada por:
x - 11 = y + 2-2 = z - 31
O vetor direção d = 1 -2 1 é formado pelos coeficientes das variáveis no denominador, então temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano. A equação do plano é:
2x - y + 3z = 7
Os coeficientes de n = 2 -1 3 , e nessa equação formam o vetor normal :
O vetor normal é perpendicular ao plano.

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor direção da reta sin theta = |n cdot d||n| cdot |d| e o vetor normal do plano . A fórmula para o seno do ângulo é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n cdot d = (2)(1) + (-1)(-2) + (3)(1) = 2 + 2 + 3 = 7 :

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|n| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
|d| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do seno:
sin theta = 7raiz14 cdot raiz6 = 7raiz84 = 72raiz21 = 7raiz2142 = raiz216

Passo 8

Agora, encontramos o ângulo theta = arcsin(raiz216) approx 29^circ usando a função seno inverso:

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é aproximadamente .

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