Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre uma reta e um plano no espaço. Aqui, estamos lidando com geometria espacial. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores direção da reta e o vetor normal do plano. Depois, usaremos uma fórmula que relaciona esses vetores para encontrar o ângulo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor direção da reta. A equação simétrica da reta é dada por:
O vetor direção é formado pelos coeficientes das variáveis no denominador, então temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano. A equação do plano é:
2x - y + 3z = 7
Os coeficientes de n = 2 -1 3 , e nessa equação formam o vetor normal :
O vetor normal é perpendicular ao plano.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor direção da reta sin theta = |n cdot d||n| cdot |d| e o vetor normal do plano . A fórmula para o seno do ângulo é:
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar n cdot d = (2)(1) + (-1)(-2) + (3)(1) = 2 + 2 + 3 = 7 :