Calcule a distância entre as retas
r:l x=t y=1 z=1+t e s: x-1=y-2=z-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e como medir a distância entre elas. Vamos precisar entender as equações paramétricas e simétricas das retas para aplicar essas fórmulas na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que nos foram dadas.
A reta r está definida por:
x = t y = 1 z = 1 + t
Isso significa que x - 1 = y - 2 = z - 12 é o parâmetro que varia ao longo da reta.
A reta s está definida de forma simétrica:
x = 1 + lambda y = 2 + lambda z = 1 + 2lambda
Vamos reescrever a reta s em forma paramétrica para facilitar os cálculos. Vamos chamar de o parâmetro para a reta s.
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas as retas, ou seja, um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores das retas r e s.
Primeiro, identificamos os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor da reta r: n = u times v
  • Vetor diretor da reta s: n = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 = i(0 cdot 2 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 1) = i(-1) - j(1) + k(1) = (-1, -1, 1)
Para encontrar um vetor perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular:

Passo 4

Com o vetor perpendicular PrPs = (1 - 0, 2 - 1, 1 - 1) = (1, 1, 0) , vamos agora encontrar um ponto em cada reta para calcular a distância entre elas.
Vamos escolher para a reta r:
  • Ponto na reta r:
E escolher para a reta s:
  • Ponto na reta s:
Agora, construímos o vetor que vai de para :

Passo 5

A fórmula para a distância D = |PrPs cdot n||n| entre duas retas é dada por:
(1, 1, 0) cdot (-1, -1, 1) = (1)(-1) + (1)(-1) + (0)(1) = -1 -1 + 0 = -2
Onde:
  • |n| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 é o vetor entre dois pontos, um de cada reta.
  • é o vetor perpendicular às duas retas.
  • representa o produto escalar.
  • é o módulo do vetor .
Vamos calcular o produto escalar :
O valor absoluto desse produto é .
Agora, calculamos o módulo de :

Passo 6

Finalmente, aplicamos os valores na fórmula da distância:
D = 2raiz3 = 2raiz33

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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