Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e como medir a distância entre elas. Vamos precisar entender as equações paramétricas e simétricas das retas para aplicar essas fórmulas na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que nos foram dadas.
A reta r está definida por:
Isso significa que é o parâmetro que varia ao longo da reta.
A reta s está definida de forma simétrica:
Vamos reescrever a reta s em forma paramétrica para facilitar os cálculos. Vamos chamar de o parâmetro para a reta s.
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas as retas, ou seja, um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores das retas r e s.
Primeiro, identificamos os vetores diretores das retas:
Vetor diretor da reta r:
Vetor diretor da reta s:
Para encontrar um vetor perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular:
Passo 4
Com o vetor perpendicular , vamos agora encontrar um ponto em cada reta para calcular a distância entre elas.
Vamos escolher para a reta r:
Ponto na reta r:
E escolher para a reta s:
Ponto na reta s:
Agora, construímos o vetor que vai de para :
Passo 5
A fórmula para a distância entre duas retas é dada por:
Onde:
é o vetor entre dois pontos, um de cada reta.
é o vetor perpendicular às duas retas.
representa o produto escalar.
é o módulo do vetor .
Vamos calcular o produto escalar :
O valor absoluto desse produto é .
Agora, calculamos o módulo de :
Passo 6
Finalmente, aplicamos os valores na fórmula da distância: