Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboçar a parábola dada pela equação . Vamos trabalhar com o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente com as propriedades das parábolas. Precisamos entender a forma geral da equação da parábola e como identificar seus elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola para facilitar a identificação dos elementos. A equação dada é . Podemos reescrever isso na forma padrão de uma parábola que abre para a direita:
Na forma , onde é o vértice da parábola e determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 3

Comparando com , vemos que:
E como não há termos de e , o vértice está na origem .

Passo 4

Agora, vamos determinar o foco da parábola. Sabemos que para uma parábola que abre para a direita, o foco está localizado a uma distância à direita do vértice.

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a equação da diretriz. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola e está a uma distância do vértice, mas no sentido oposto ao foco. Como a parábola abre para a direita, a diretriz estará à esquerda do vértice.
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Passo 6

Por fim, vamos esboçar a parábola. Sabemos que o vértice está na origem , o foco está em e a diretriz é a reta . A parábola abre para a direita, então seus ramos se estendem para a direita a partir do vértice. O esboço seria uma curva simétrica em relação ao eixo , passando pelo foco e afastando-se da diretriz.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:
  • Esboço: Parábola com vértice na origem, foco em , diretriz e abrindo para a direita.

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