Esboce as curvas descritas pelas equações abaixo: ; Sip
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a curva dada pela equação . Esse tipo de equação pertence à matéria de Conic Sections (Cônicas), mais especificamente a uma hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os elementos da hipérbole, como o centro, os eixos, e os vértices, e usar essas informações para desenhar o esboço da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação da hipérbole padrão. A equação geral de uma hipérbole vertical é:
Comparando com a nossa equação , vemos que:
então
então
Passo 3
O centro da hipérbole é o ponto , que nesse caso é . Esse ponto será o ponto central no nosso esboço.
Passo 4
Agora, vamos determinar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole vertical, os vértices ficam a uma distância acima e abaixo do centro. Então:
Vértice superior:
Vértice inferior:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar os pontos de interseção dos eixos da hipérbole. Como e , traçamos linhas a partir do centro com essas distâncias para definir a caixa retangular que nos ajudará a desenhar os ramos da hipérbole.
Passo 6
Com a caixa desenhada, podemos agora traçar as assíntotas da hipérbole, que são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
Substituindo os valores:
Passo 7
Por fim, usando os vértices e as assíntotas, desenhamos os ramos da hipérbole que se abrem para cima e para baixo, seguindo a direção das assíntotas.
Resposta
O esboço da curva é uma hipérbole com centro em , vértices em e , e assíntotas dadas por e .