Esboce as curvas descritas pelas equações abaixo: ; Sip

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a curva dada pela equação . Esse tipo de equação pertence à matéria de Conic Sections (Cônicas), mais especificamente a uma hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os elementos da hipérbole, como o centro, os eixos, e os vértices, e usar essas informações para desenhar o esboço da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação da hipérbole padrão. A equação geral de uma hipérbole vertical é:
Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • então
  • então

Passo 3

O centro da hipérbole é o ponto , que nesse caso é . Esse ponto será o ponto central no nosso esboço.

Passo 4

Agora, vamos determinar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole vertical, os vértices ficam a uma distância acima e abaixo do centro. Então:
  • Vértice superior:
  • Vértice inferior:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar os pontos de interseção dos eixos da hipérbole. Como e , traçamos linhas a partir do centro com essas distâncias para definir a caixa retangular que nos ajudará a desenhar os ramos da hipérbole.

Passo 6

Com a caixa desenhada, podemos agora traçar as assíntotas da hipérbole, que são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
Substituindo os valores:

Passo 7

Por fim, usando os vértices e as assíntotas, desenhamos os ramos da hipérbole que se abrem para cima e para baixo, seguindo a direção das assíntotas.

Resposta

O esboço da curva é uma hipérbole com centro em , vértices em e , e assíntotas dadas por e .

Exercícios relacionados

Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
d) .
Esboce as curvas descritas pelas equações abaixo: ;
dip
Calcule a distância entre as retas
Determine os valores de para que o plano diste 4 u.c. da origem.