Determine os valores de k para que o plano alpha: x+2 y-2 z+k=0 diste 4 u.c. da origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o plano alpha: x + 2y - 2z + k = 0 e queremos encontrar os valores de k para que esse plano esteja a 4 unidades de distância da origem. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

A fórmula para calcular a distância d da origem ao plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |D|raizA^2 + B^2 + C^2
Nesse caso, o plano é x + 2y - 2z + k = 0, então A = 1, B = 2, C = -2 e D = k.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da distância:
4 = |k|raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = |k|raiz1 + 4 + 4 = |k|3

Passo 4

Agora, resolvemos para k multiplicando ambos os lados por 3:
|k| = 12
Isso significa que k pode ser 12 ou -12.

Resposta

Os valores de k são k = 12 e k = -12.

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