Calcule a distância entre as retas
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações das duas retas e usar uma fórmula que nos dá essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas. A primeira reta está na forma simétrica:
E a segunda reta está nas equações paramétricas:

Passo 3

Vamos transformar a primeira reta em forma paramétrica para facilitar nossos cálculos. A forma simétrica pode ser escrita como:
Aqui, é o parâmetro da primeira reta.

Passo 4

Agora, temos as duas retas na forma paramétrica:
  • Reta 1:
  • Reta 2:

Passo 5

Para calcular a distância entre duas retas no espaço, usamos a fórmula:
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas.
  • é o vetor que vai de um ponto em uma reta para um ponto na outra reta.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 6

Vamos identificar os vetores diretores e escolher pontos em cada reta:
  • Para a Reta 1, o vetor diretor e podemos escolher o ponto .
  • Para a Reta 2, o vetor diretor e podemos escolher o ponto .

Passo 7

Vamos calcular o vetor :

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando cada componente:

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto escalar :
O valor absoluto desse produto escalar é .

Passo 10

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial :

Passo 11

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as duas retas é aproximadamente unidades.

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