Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações das duas retas e usar uma fórmula que nos dá essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas. A primeira reta está na forma simétrica:
x+43=y4=z+5-2
E a segunda reta está nas equações paramétricas:
l x=21+6 lambda y=-5-4 lambda z=2-lambda
Passo 3
Vamos transformar a primeira reta em forma paramétrica para facilitar nossos cálculos. A forma simétrica x+43=y4=z+5-2 pode ser escrita como:
l x = -4 + 3t y = 0 + 4t z = -5 -2t
Aqui, t é o parâmetro da primeira reta.
Passo 4
Agora, temos as duas retas na forma paramétrica:
Reta 1:
l x = -4 + 3t y = 0 + 4t z = -5 -2t
Reta 2:
l x = 21 + 6lambda y = -5 -4lambda z = 2 - lambda
Passo 5
Para calcular a distância entre duas retas no espaço, usamos a fórmula:
d = |v1 times v2 cdot PQ||v1 times v2|
Onde:
v1 e v2 são os vetores diretores das retas.
PQ é o vetor que vai de um ponto em uma reta para um ponto na outra reta.
times representa o produto vetorial.
cdot representa o produto escalar.
Passo 6
Vamos identificar os vetores diretores e escolher pontos em cada reta:
Para a Reta 1, o vetor diretor v1 = 3 4 -2 e podemos escolher o ponto P = (-4, 0, -5).
Para a Reta 2, o vetor diretor v2 = 6 -4 -1 e podemos escolher o ponto Q = (21, -5, 2).
Passo 7
Vamos calcular o vetor PQ:
PQ = Q - P = 21 - (-4) -5 - 0 2 - (-5) = 25 -5 7
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto vetorial v1 times v2: