Calcule a distância entre as retas
b) x+43=y4=z+5-2
l x=21+6 lambda y=-5-4 lambda z=2-lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar das equações das duas retas e usar uma fórmula que nos dá essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas. A primeira reta está na forma simétrica:
x+43=y4=z+5-2
E a segunda reta está nas equações paramétricas:
l x=21+6 lambda y=-5-4 lambda z=2-lambda

Passo 3

Vamos transformar a primeira reta em forma paramétrica para facilitar nossos cálculos. A forma simétrica x+43=y4=z+5-2 pode ser escrita como:
l x = -4 + 3t y = 0 + 4t z = -5 -2t
Aqui, t é o parâmetro da primeira reta.

Passo 4

Agora, temos as duas retas na forma paramétrica:
  • Reta 1:
l x = -4 + 3t y = 0 + 4t z = -5 -2t
  • Reta 2:
l x = 21 + 6lambda y = -5 -4lambda z = 2 - lambda

Passo 5

Para calcular a distância entre duas retas no espaço, usamos a fórmula:
d = |v1 times v2 cdot PQ||v1 times v2|
Onde:
  • v1 e v2 são os vetores diretores das retas.
  • PQ é o vetor que vai de um ponto em uma reta para um ponto na outra reta.
  • times representa o produto vetorial.
  • cdot representa o produto escalar.

Passo 6

Vamos identificar os vetores diretores e escolher pontos em cada reta:
  • Para a Reta 1, o vetor diretor v1 = 3 4 -2 e podemos escolher o ponto P = (-4, 0, -5).
  • Para a Reta 2, o vetor diretor v2 = 6 -4 -1 e podemos escolher o ponto Q = (21, -5, 2).

Passo 7

Vamos calcular o vetor PQ:
PQ = Q - P = 21 - (-4) -5 - 0 2 - (-5) = 25 -5 7

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial v1 times v2:
v1 times v2 = i & j & k 3 & 4 & -2 6 & -4 & -1 = i(4 cdot (-1) - (-2) cdot (-4)) - j(3 cdot (-1) - (-2) cdot 6) + k(3 cdot (-4) - 4 cdot 6)
Calculando cada componente:
v1 times v2 = i(-4 - 8) - j(-3 - (-12)) + k(-12 - 24) = -12 9 -36

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto escalar v1 times v2 cdot PQ:
-12 9 -36 cdot 25 -5 7 = (-12)(25) + (9)(-5) + (-36)(7) = -300 -45 -252 = -597
O valor absoluto desse produto escalar é | -597 | = 597.

Passo 10

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial |v1 times v2|:
|v1 times v2| = raiz(-12)^2 + 9^2 + (-36)^2 = raiz144 + 81 + 1296 = raiz1521 = 39

Passo 11

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = 59739 = 15,3077

Resposta

A distância entre as duas retas é aproximadamente 15,31 unidades.

Exercícios relacionados