Calcule a distância entre as retas
a)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a distância entre duas retas no espaço. A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como representar as retas de forma paramétrica e usar uma fórmula que nos dá essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que temos:
A primeira reta é dada por:
Podemos escrever essa reta na forma paramétrica, usando como parâmetro :
Portanto, a parametrização da primeira reta é , onde é o vetor diretor da primeira reta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda reta, que está definida pelas equações:
Para encontrar a parametrização dessa reta, escolhemos um parâmetro, por exemplo, . Então:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Assim, a parametrização da segunda reta é:
Escrevendo como vetor:
Aqui, é o vetor diretor da segunda reta.

Passo 4

Agora que temos as duas retas na forma paramétrica, podemos identificar os vetores diretores:
  • Vetor diretor da primeira reta:
  • Vetor diretor da segunda reta:
Também vamos pegar dois pontos, um de cada reta, para facilitar:
  • Ponto na primeira reta:
  • Ponto na segunda reta:

Passo 5

A distância entre duas retas no espaço que não se interceptam (retas paralelas ou não paralelas) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas.
  • é o vetor que vai de para .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial :

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 9

Agora, vamos calcular o módulo de :

Passo 10

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as duas retas é unidades.

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre os planos paralelos:
c)
Considere a seguinte matriz de mudança da base para a base

14a
Encontre: (a) , sabendo que .
Calcule a distância entre as retas
b)
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: ( ) Se , então .