Calcule a distância entre as retas
a) lx=z-1 y=3 z-2
l3 x-2 z+3=0 y-z-2=0

Passo 1

Beleza, vamos calcular a distância entre duas retas no espaço. A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como representar as retas de forma paramétrica e usar uma fórmula que nos dá essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas que temos:
A primeira reta é dada por:
x = z - 1 y = 3z - 2
Podemos escrever essa reta na forma paramétrica, usando x = t - 1 y = 3t - 2 z = t como parâmetro :
Portanto, a parametrização da primeira reta é , onde é o vetor diretor da primeira reta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda reta, que está definida pelas equações:
3x - 2z + 3 = 0 y - z - 2 = 0
Para encontrar a parametrização dessa reta, escolhemos um parâmetro, por exemplo, y = s + 2 . Então:
Da segunda equação:
3x - 2s + 3 = 0 Rightarrow x = 2s - 33
Da primeira equação:
x = 2s - 33 y = s + 2 z = s
Assim, a parametrização da segunda reta é:
r2(s) = (-1, 2, 0) + s(23, 1, 1)
Escrevendo como vetor:
Aqui, é o vetor diretor da segunda reta.

Passo 4

Agora que temos as duas retas na forma paramétrica, podemos identificar os vetores diretores:
  • Vetor diretor da primeira reta:
  • Vetor diretor da segunda reta:
Também vamos pegar dois pontos, um de cada reta, para facilitar:
  • Ponto na primeira reta:
  • Ponto na segunda reta:

Passo 5

A distância entre duas retas no espaço que não se interceptam (retas paralelas ou não paralelas) pode ser calculada usando a fórmula:
d = |u times v cdot P2P1||u times v|
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas.
  • é o vetor que vai de para .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 6

Vamos calcular P2P1 = P1 - P2 = (-1 - (-1), -2 - 2, 0 - 0) = (0, -4, 0) :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 1 & 3 & 1 23 & 1 & 1 = i(3 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 23 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 3 cdot 23) :
= i(2) - j(13) + k(1 - 2) = (2, -13, -1)

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar (2, -13, -1) cdot (0, -4, 0) = 2 cdot 0 + (-13) cdot (-4) + (-1) cdot 0 = 0 + 43 + 0 = 43 :

Passo 9

Agora, vamos calcular o módulo de |u times v| = raiz2^2 + (-13)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 19 + 1 = raiz5 + 19 = raiz469 = raiz463 :

Passo 10

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = |43|raiz463 = 43 div raiz463 = 4raiz46 = 4raiz4646 = 2raiz4623

Resposta

A distância entre as duas retas é unidades.

Exercícios relacionados