Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas retas no espaço e queremos calcular a distância entre elas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre como representar retas no espaço e como calcular a distância entre elas usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas retas que temos:
Reta 1:
l x = 2 - lambda y = 1 + lambda z = -lambda
Aqui, l x + y + z = 0 2x - y - 1 = 0 é o parâmetro. Essa forma nos dá um ponto da reta e o vetor diretor.
Reta 2:
Para essa reta, precisamos reescrever o sistema para encontrar uma representação paramétrica, identificando um ponto e o vetor diretor.
Passo 3
Vamos encontrar um ponto e o vetor diretor para cada reta.
Para a Reta 1:
A parametrização já está dada. Se d1 = (-1, 1, -1) , temos o ponto 2x - y - 1 = 0 Rightarrow y = 2x - 1 . O vetor diretor x + (2x - 1) + t = 0 Rightarrow 3x + t - 1 = 0 Rightarrow x = 1 - t3 pode ser obtido observando os coeficientes de y = 2(1 - t3) - 1 = 2 - 2t3 - 1 = -1 - 2t3 :
d2 = (-1, -2, 3)
Para a Reta 2:
Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em termos de um parâmetro. Vamos deixar .
Da segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então,
Portanto, um ponto na reta 2 quando é e o vetor diretor é , mas podemos simplificar multiplicando por 3 para facilitar:
Passo 4
Agora que temos os pontos e os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço. A fórmula é:
Distância = |P2P1 cdot (d1 times d2)||d1 times d2| â