Calcule a distância entre as retas
c) lx=2-lambda y=1+lambda z=-lambda
l x+y+z=0 2 x-y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas retas no espaço e queremos calcular a distância entre elas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre como representar retas no espaço e como calcular a distância entre elas usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas retas que temos:
Reta 1:
l x = 2 - lambda y = 1 + lambda z = -lambda
Aqui, l x + y + z = 0 2x - y - 1 = 0 é o parâmetro. Essa forma nos dá um ponto da reta e o vetor diretor.
Reta 2:
Para essa reta, precisamos reescrever o sistema para encontrar uma representação paramétrica, identificando um ponto e o vetor diretor.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto e o vetor diretor para cada reta.
Para a Reta 1:
A parametrização já está dada. Se d1 = (-1, 1, -1) , temos o ponto 2x - y - 1 = 0 Rightarrow y = 2x - 1 . O vetor diretor x + (2x - 1) + t = 0 Rightarrow 3x + t - 1 = 0 Rightarrow x = 1 - t3 pode ser obtido observando os coeficientes de y = 2(1 - t3) - 1 = 2 - 2t3 - 1 = -1 - 2t3 :
d2 = (-1, -2, 3)
Para a Reta 2:
Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em termos de um parâmetro. Vamos deixar .
Da segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então,
Portanto, um ponto na reta 2 quando é e o vetor diretor é , mas podemos simplificar multiplicando por 3 para facilitar:

Passo 4

Agora que temos os pontos e os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço. A fórmula é:
Distância = |P2P1 cdot (d1 times d2)||d1 times d2| â
Onde:
  • P2P1 = P1 - P2 = (2 - 13, 1 - (-13), 0 - 0) = (53, 43, 0) é o vetor que vai de d1 times d2 = i & j & k -1 & 1 & -1 -1 & -2 & 3 = i(1 cdot 3 - (-1) cdot (-2)) - j(-1 cdot 3 - (-1) cdot (-1)) + k(-1 cdot (-2) - 1 cdot (-1)) até = i(3 - 2) - j(-3 - 1) + k(2 - (-1)) = i(1) - j(-4) + k(3) = (1, 4, 3) .
  • P2P1 cdot (d1 times d2) = (53)(1) + (43)(4) + (0)(3) = 53 + 163 + 0 = 213 = 7 é o produto vetorial dos vetores diretores das duas retas.
  • |d1 times d2| = raiz1^2 + 4^2 + 3^2 = raiz1 + 16 + 9 = raiz26 representa o produto escalar.
Vamos calcular cada parte.
1. Vetor :
2. Produto Vetorial :
3. Produto Escalar :
4. Módulo do Produto Vetorial :

Resposta

Portanto, a distância entre as duas retas é:
Distância = 7raiz26 approx 1,37 unidades â

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