Calcule a distância entre as retas
c)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas retas no espaço e queremos calcular a distância entre elas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre como representar retas no espaço e como calcular a distância entre elas usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas retas que temos:
Reta 1:
Aqui, é o parâmetro. Essa forma nos dá um ponto da reta e o vetor diretor.
Reta 2:
Para essa reta, precisamos reescrever o sistema para encontrar uma representação paramétrica, identificando um ponto e o vetor diretor.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto e o vetor diretor para cada reta.
Para a Reta 1:
A parametrização já está dada. Se , temos o ponto . O vetor diretor pode ser obtido observando os coeficientes de :
Para a Reta 2:
Vamos resolver o sistema para expressar duas variáveis em termos de um parâmetro. Vamos deixar .
Da segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então,
Portanto, um ponto na reta 2 quando é e o vetor diretor é , mas podemos simplificar multiplicando por 3 para facilitar:

Passo 4

Agora que temos os pontos e os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço. A fórmula é:
â
Onde:
  • é o vetor que vai de até .
  • é o produto vetorial dos vetores diretores das duas retas.
  • representa o produto escalar.
Vamos calcular cada parte.
1. Vetor :
2. Produto Vetorial :
3. Produto Escalar :
4. Módulo do Produto Vetorial :

Resposta

Portanto, a distância entre as duas retas é:
â

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b)
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