Considere o sistema linear . Para quais valores de o sistema tem: (a) Uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares:
O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução. Para isso, a gente vai usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente das incógnitas , e em cada equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, o sistema tem uma única solução.
Para uma matriz , o determinante é calculado assim:
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule cada parte dentro dos colchetes:
Substituindo de volta:
Passo 5
Continuando a simplificação:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Passo 6
Queremos que o determinante seja diferente de zero para que o sistema tenha uma única solução:
Vamos resolver essa desigualdade:
Resposta
O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto quando ou .