Considere o sistema linear lx+2 y-z=2 2 x-2 y+3 z=1 x+2 y-(m^2-3) z=m. Para quais valores de m o sistema tem: (a) Uma única solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares:
x + 2y - z = 2 2x - 2y + 3z = 1 x + 2y - (m^2 - 3)z = m
O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução. Para isso, a gente vai usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente das incógnitas A = 1 & 2 & -1 2 & -2 & 3 1 & 2 & -(m^2 - 3) , e em cada equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, o sistema tem uma única solução.
Para uma matriz det(A) = 1 cdot [(-2) cdot (-(m^2 - 3)) - 3 cdot 2] - 2 cdot [2 cdot (-(m^2 - 3)) - 3 cdot 1] + (-1) cdot [2 cdot 2 - (-2) cdot 1] , o determinante é calculado assim:
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule cada parte dentro dos colchetes:
  1. (-2) cdot (-(m^2 - 3)) = 2(m^2 - 3) = 2m^2 - 6
  2. 3 cdot 2 = 6
  3. 2 cdot (-(m^2 - 3)) = -2(m^2 - 3) = -2m^2 + 6
  4. 3 cdot 1 = 3
  5. 2 cdot 2 = 4
  6. (-2) cdot 1 = -2
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot [(2m^2 - 6) - 6] - 2 cdot [(-2m^2 + 6) - 3] + (-1) cdot [4 - (-2)]

Passo 5

Continuando a simplificação:
det(A) = 1 cdot (2m^2 - 12) - 2 cdot (-2m^2 + 3) + (-1) cdot (6)
Distribuindo os coeficientes:
det(A) = 2m^2 - 12 + 4m^2 - 6 - 6
Agora, somamos os termos semelhantes:
det(A) = (2m^2 + 4m^2) + (-12 - 6 - 6) = 6m^2 - 24

Passo 6

Queremos que o determinante seja diferente de zero para que o sistema tenha uma única solução:
6m^2 - 24 neq 0
Vamos resolver essa desigualdade:
6m^2 neq 24 m^2 neq 4 m neq pm 2

Resposta

O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto quando ou .

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