No
definimos a adição por
e a multiplicação por escalar como
, para todo
. Nessas condições
é espaço vetorial sobre
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, no conjunto
com uma definição diferente de adição e multiplicação por escalar, esse conjunto ainda forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para resolver isso, precisamos lembrar dos axiomas de espaço vetorial e verificar se nossa definição de adição e multiplicação por escalar os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a adição está definida aqui. Em vez de somar componente a componente, temos:
Isso significa que a primeira coordenada sempre será 0, e a segunda será a diferença das segundas coordenadas dos vetores que estamos somando.
Passo 3
Agora, a multiplicação por escalar está definida normalmente:
Aqui, multiplicamos cada componente do vetor pelo número real
.
Passo 4
Vamos lembrar dos axiomas de espaço vetorial que precisamos verificar:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
- Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar cada um desses com nossa definição de adição e multiplicação.
Passo 5
1. Comutatividade da adição:
A menos que
,
. Então, a adição não é comutativa.
Passo 6
Já que a comutatividade não é satisfeita, não precisamos verificar todos os outros axiomas. Para um conjunto ser um espaço vetorial, todos os axiomas precisam ser atendidos. Como um dos principais axiomas falhou, podemos concluir que
não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
porque a adição definida não é comutativa, violando os axiomas necessários para um espaço vetorial.