Considere a seguinte matriz de mudança da base para a base
14a
Encontre: (a) [v]beta, sabendo que [v]beta^prime=(r-1 2 3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base! A gente tem uma matriz de mudança de base -1 2 3 que transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base , dado que já sabemos as coordenadas dele na base , que são .
Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação de base funciona e, mais especificamente, vamos precisar calcular a matriz inversa de . Isso porque para voltar de para , precisamos inverter a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que se temos a matriz de mudança de base Pbeta beta' = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 , a matriz inversa nos permite voltar de para . Então, para encontrar , a gente precisa calcular essa matriz inversa.
A matriz que temos é:
Vamos calcular a inversa dessa matriz.
Passo 3
Para achar a inversa de det(P) = 1 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) , podemos usar o método de matrizes adjuntas ou métodos mais diretos como a eliminação de Gauss. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus para simplificar, já que det(P) = 1 cdot (1 - 0) - 1 cdot (0 - 1) + 0 cdot (0 + 1) é uma matriz 3x3.
Primeiro, calculamos o determinante de det(P) = 1 + 1 + 0 = 2 .
Como o determinante não é zero, a matriz tem inversa.
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz adjunta de C11 = (-1)^1+1 cdot det -1 & 1 0 & -1 = 1 cdot ((-1)(-1) - 1 cdot 0) = 1 , que é a matriz dos cofatores transposta.