Considere a seguinte matriz de mudança da base para a base
14a
Encontre: (a) , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base! A gente tem uma matriz de mudança de base que transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base , dado que já sabemos as coordenadas dele na base , que são .
Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação de base funciona e, mais especificamente, vamos precisar calcular a matriz inversa de . Isso porque para voltar de para , precisamos inverter a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que se temos a matriz de mudança de base , a matriz inversa nos permite voltar de para . Então, para encontrar , a gente precisa calcular essa matriz inversa.
A matriz que temos é:
Vamos calcular a inversa dessa matriz.
Passo 3
Para achar a inversa de , podemos usar o método de matrizes adjuntas ou métodos mais diretos como a eliminação de Gauss. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus para simplificar, já que é uma matriz 3x3.
Primeiro, calculamos o determinante de .
Como o determinante não é zero, a matriz tem inversa.
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz adjunta de , que é a matriz dos cofatores transposta.
Primeiro, encontramos os cofatores:
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a adjunta de é a transposta dessa matriz:
Passo 5
Agora que temos a adjunta, podemos calcular a inversa de . A fórmula para a inversa é:
Já sabemos que , então:
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar multiplicando pelas coordenadas de na base :