Considere a seguinte matriz P de mudança da base beta para a base beta^prime
Pbeta beta^prime=(rrr 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 )
14a
Encontre: (a) [v]beta, sabendo que [v]beta^prime=(r-1 2 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de mudança de base! A gente tem uma matriz de mudança de base -1 2 3 que transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor na base , dado que já sabemos as coordenadas dele na base , que são .
Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação de base funciona e, mais especificamente, vamos precisar calcular a matriz inversa de . Isso porque para voltar de para , precisamos inverter a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que se temos a matriz de mudança de base Pbeta beta' = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 , a matriz inversa nos permite voltar de para . Então, para encontrar , a gente precisa calcular essa matriz inversa.
A matriz que temos é:
Vamos calcular a inversa dessa matriz.

Passo 3

Para achar a inversa de det(P) = 1 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) , podemos usar o método de matrizes adjuntas ou métodos mais diretos como a eliminação de Gauss. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus para simplificar, já que det(P) = 1 cdot (1 - 0) - 1 cdot (0 - 1) + 0 cdot (0 + 1) é uma matriz 3x3.
Primeiro, calculamos o determinante de det(P) = 1 + 1 + 0 = 2 .
Como o determinante não é zero, a matriz tem inversa.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de C11 = (-1)^1+1 cdot det -1 & 1 0 & -1 = 1 cdot ((-1)(-1) - 1 cdot 0) = 1 , que é a matriz dos cofatores transposta.
Primeiro, encontramos os cofatores:
C12 = (-1)^1+2 cdot det 0 & 1 1 & -1 = -1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) = -1 cdot (-1) = 1
C13 = (-1)^1+3 cdot det 0 & -1 1 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) = 1
C21 = (-1)^2+1 cdot det 1 & 0 0 & -1 = -1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) = -1 cdot (-1) = 1
C22 = (-1)^2+2 cdot det 1 & 0 1 & -1 = 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) = -1
C23 = (-1)^2+3 cdot det 1 & 1 1 & 0 = -1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 cdot (-1) = 1
C31 = (-1)^3+1 cdot det 1 & 0 -1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot (-1)) = 1
C32 = (-1)^3+2 cdot det 1 & 0 0 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -1
C33 = (-1)^3+3 cdot det 1 & 1 0 & -1 = 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 0) = -1
Cof(P) = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & -1 & -1
Então, a matriz dos cofatores é:
Adj(P) = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1
Agora, a adjunta de é a transposta dessa matriz:

Passo 5

Agora que temos a adjunta, podemos calcular a inversa de P^-1 = 1det(P) cdot Adj(P) . A fórmula para a inversa é:
P^-1 = 12 cdot 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 = 12 & 12 & 12 12 & -12 & -12 12 & 12 & -12
Já sabemos que , então:

Passo 6

Agora que temos [v]beta = P^-1 [v]beta' = 12 & 12 & 12 12 & -12 & -12 12 & 12 & -12 -1 2 3 , podemos encontrar 12 cdot (-1) + 12 cdot 2 + 12 cdot 3 = -12 + 1 + 32 = 2 multiplicando 12 cdot (-1) + (-12) cdot 2 + (-12) cdot 3 = -12 - 1 - 32 = -3 pelas coordenadas de 12 cdot (-1) + 12 cdot 2 + (-12) cdot 3 = -12 + 1 - 32 = -1 na base :
Vamos fazer a multiplicação:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Para a terceira coordenada:

Resposta

As coordenadas do vetor [v]beta = 2 -3 -1 na base são:

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