Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a distância entre duas retas que são paralelas no espaço tridimensional. As retas são dadas pelas equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, mais especificamente, a fórmula para calcular a distância entre retas paralelas usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as duas retas em forma paramétrica para identificar seus pontos e vetores diretores.
Reta 1: A equação simétrica pode ser reescrita assim:
Então, a forma paramétrica da primeira reta é:
Aqui, o vetor diretor é e um ponto na reta é .
Reta 2: Já está em forma paramétrica:
O vetor diretor também é e um ponto na reta é .

Passo 3

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o vetor que vai do ponto ao ponto .
  • representa o produto vetorial.
  • é a norma (comprimento) do vetor diretor.
Essa fórmula basicamente calcula a componente do vetor entre os dois pontos que é perpendicular ao vetor diretor, e essa componente é a distância entre as retas.

Passo 4

Vamos encontrar o vetor :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:
E a norma do vetor diretor:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as retas paralelas é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Sejam operadores lineares dados por e . Determine e descreva geometricamente os operadores e .
Determine a matriz, em relação à base canônica, dos operadores lineares abaixo.
a) dilata os vetores do por um fator 3 , em seguida reflete esses vetores em relação à reta e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo .
b) contrai os vetores do por um fator , em seguida rotaciona esses vetores no sentido anti-horário por um ângulo de e depois reflete esses vetores em torno do eixo .
O conjunto é uma base do ?
Seja o operador linear dado por .
a) Encontre a matriz que representa em relação à base .
b) Determine uma base para o núcleo de e conclua que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolva em a equação .