Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
x-1-2=y12=z e X=(0,0,2)+lambda(-2, 12, 1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular a distância entre duas retas que são paralelas no espaço tridimensional. As retas são dadas pelas equações:
x - 1-2 = y12 = z e X = (0,0,2) + lambda ( -2, 12, 1 )
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, mais especificamente, a fórmula para calcular a distância entre retas paralelas usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as duas retas em forma paramétrica para identificar seus pontos e vetores diretores.
Reta 1: A equação simétrica pode ser reescrita assim:
x - 1-2 = t Rightarrow x = -2t + 1
y12 = t Rightarrow y = 12 t
z = t
Então, a forma paramétrica da primeira reta é:
L1: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t (-2, 12, 1)
Aqui, o vetor diretor é X = (0,0,2) + lambda ( -2, 12, 1 ) e um ponto na reta é .
Reta 2: Já está em forma paramétrica:
O vetor diretor também é e um ponto na reta é .

Passo 3

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte fórmula:
D = |P2P1 times d||d|
Onde:
  • é o vetor que vai do ponto ao ponto .
  • representa o produto vetorial.
  • é a norma (comprimento) do vetor diretor.
Essa fórmula basicamente calcula a componente do vetor entre os dois pontos que é perpendicular ao vetor diretor, e essa componente é a distância entre as retas.

Passo 4

Vamos encontrar o vetor P2P1 = P1 - P2 = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 2) = (1, 0, -2) :
P2P1 times d = i & j & k 1 & 0 & -2 -2 & 12 & 1
Agora, calculamos o produto vetorial i (0 cdot 1 - (-2) cdot 12) - j (1 cdot 1 - (-2) cdot (-2)) + k (1 cdot 12 - 0 cdot (-2)) :
i (0 + 1) - j (1 - 4) + k ( 12 - 0 ) = i (1) - j (-3) + k ( 12 ) = (1, 3, 12)
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:
|P2P1 times d| = raiz1^2 + 3^2 + ( 12 )^2 = raiz1 + 9 + 14 = raiz10.25 = raiz412
E a norma do vetor diretor:
|d| = raiz(-2)^2 + ( 12 )^2 + 1^2 = raiz4 + 0.25 + 1 = raiz5.25 = raiz212

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
D = |P2P1 times d||d| = raiz412 raiz212 = raiz41raiz21 = raiz 4121 approx 1.401

Resposta

A distância entre as retas paralelas é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados