O conjunto
é uma base do
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto de vetores
é uma base para o espaço
. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma base e quais são os critérios para que um conjunto de vetores seja considerado uma base de
.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial como
é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, e nenhum dos vetores da base pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
Um ponto crucial é que a dimensão de
é 3. Isso significa que uma base para
precisa ter exatamente 3 vetores. Se tivermos mais vetores, pode ser que eles sejam redundantes (ou seja, dependentes), e se tivermos menos, não vão cobrir todo o espaço.
Passo 4
No nosso caso, o conjunto dado tem 4 vetores:
. Como mencionamos, uma base para
deve ter 3 vetores. Tendo 4 vetores, automaticamente sabemos que eles não podem ser linearmente independentes, porque sempre que temos mais vetores do que a dimensão do espaço, alguns vetores vão depender dos outros.
Passo 5
Para reforçar, se quiséssemos verificar a independência linear formalmente, poderíamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante ou usar operações de linha para ver se há soluções não triviais para a combinação linear que dá o vetor zero. Mas, nesse caso, já sabemos que com 4 vetores em
, eles são linearmente dependentes.
Resposta
Não, o conjunto
não é uma base do
porque possui mais vetores do que a dimensão do espaço, tornando-os linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
Sejam
operadores lineares dados por
e
. Determine e descreva geometricamente os operadores
e
.
Seja
o operador linear dado por
.
a) Encontre a matriz que representa em relação à base
.
b) Determine uma base para o núcleo de e conclua que
não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolva em a equação
.
a) Encontre a matriz que representa
b) Determine uma base para o núcleo de
c) Resolva em
Determine o ponto de
tal que a soma de suas distâncias a
e
seja mínima nos casos:
e