O conjunto (0,1,2),(1,1,1),(0,2,0),(2,5,4) é uma base do R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto de vetores (0,1,2), (1,1,1), (0,2,0), (2,5,4) é uma base para o espaço R^3. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma base e quais são os critérios para que um conjunto de vetores seja considerado uma base de R^3.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial como R^3 é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, e nenhum dos vetores da base pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Um ponto crucial é que a dimensão de R^3 é 3. Isso significa que uma base para R^3 precisa ter exatamente 3 vetores. Se tivermos mais vetores, pode ser que eles sejam redundantes (ou seja, dependentes), e se tivermos menos, não vão cobrir todo o espaço.

Passo 4

No nosso caso, o conjunto dado tem 4 vetores: (0,1,2), (1,1,1), (0,2,0), (2,5,4). Como mencionamos, uma base para R^3 deve ter 3 vetores. Tendo 4 vetores, automaticamente sabemos que eles não podem ser linearmente independentes, porque sempre que temos mais vetores do que a dimensão do espaço, alguns vetores vão depender dos outros.

Passo 5

Para reforçar, se quiséssemos verificar a independência linear formalmente, poderíamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante ou usar operações de linha para ver se há soluções não triviais para a combinação linear que dá o vetor zero. Mas, nesse caso, já sabemos que com 4 vetores em R^3, eles são linearmente dependentes.

Resposta

Não, o conjunto (0,1,2), (1,1,1), (0,2,0), (2,5,4) não é uma base do R^3 porque possui mais vetores do que a dimensão do espaço, tornando-os linearmente dependentes.

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