O conjunto é uma base do ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto de vetores é uma base para o espaço . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma base e quais são os critérios para que um conjunto de vetores seja considerado uma base de .

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que geram todo o espaço e são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base, e nenhum dos vetores da base pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Um ponto crucial é que a dimensão de é 3. Isso significa que uma base para precisa ter exatamente 3 vetores. Se tivermos mais vetores, pode ser que eles sejam redundantes (ou seja, dependentes), e se tivermos menos, não vão cobrir todo o espaço.

Passo 4

No nosso caso, o conjunto dado tem 4 vetores: . Como mencionamos, uma base para deve ter 3 vetores. Tendo 4 vetores, automaticamente sabemos que eles não podem ser linearmente independentes, porque sempre que temos mais vetores do que a dimensão do espaço, alguns vetores vão depender dos outros.

Passo 5

Para reforçar, se quiséssemos verificar a independência linear formalmente, poderíamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante ou usar operações de linha para ver se há soluções não triviais para a combinação linear que dá o vetor zero. Mas, nesse caso, já sabemos que com 4 vetores em , eles são linearmente dependentes.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base do porque possui mais vetores do que a dimensão do espaço, tornando-os linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
Sejam operadores lineares dados por e . Determine e descreva geometricamente os operadores e .
Seja o operador linear dado por .
a) Encontre a matriz que representa em relação à base .
b) Determine uma base para o núcleo de e conclua que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolva em a equação .
Determine o ponto de tal que a soma de suas distâncias a e seja mínima nos casos:
e