Calcule a distância entre as retas e descritas em coordenadas, respectivamente, por e , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. As retas são:
  • Reta r definida por:
  • Reta s definida por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre duas retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta r está no plano e a equação sugere que qualquer ponto nessa reta pode ser escrito como . Isso implica que o vetor diretor da reta r é .
A reta s é parametrizada por , onde varia. O vetor diretor da reta s é então .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou estão em posições inclinadas (skew). Para isso, analisamos os vetores diretores:
Como os vetores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas nem coincidentes. Portanto, elas estão em posições inclinadas no espaço.

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas inclinadas, usamos a seguinte fórmula:
â
Onde:
  • é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra.
  • e são os vetores diretores das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 5

Escolhemos pontos nas retas para formar o vetor . Vamos escolher o ponto na reta r (quando ) e o ponto na reta s (quando ).
Então, o vetor é:

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial :

Passo 7

Calculamos agora o produto escalar :
Tomamos o valor absoluto:

Passo 8

Calculamos a magnitude do produto vetorial :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
â

Resposta

A distância entre as retas e é .

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