Calcule a distância entre as retas e descritas em coordenadas, respectivamente, por e , onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. As retas são:
Reta r definida por:
Reta s definida por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre duas retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta r está no plano e a equação sugere que qualquer ponto nessa reta pode ser escrito como . Isso implica que o vetor diretor da reta r é .
A reta s é parametrizada por , onde varia. O vetor diretor da reta s é então .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou estão em posições inclinadas (skew). Para isso, analisamos os vetores diretores:
Como os vetores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas nem coincidentes. Portanto, elas estão em posições inclinadas no espaço.
Passo 4
Para calcular a distância entre duas retas inclinadas, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra.
e são os vetores diretores das retas.
representa o produto vetorial.
representa o produto escalar.
Passo 5
Escolhemos pontos nas retas para formar o vetor . Vamos escolher o ponto na reta r (quando ) e o ponto na reta s (quando ).
Então, o vetor é:
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial :
Passo 7
Calculamos agora o produto escalar d cdot (vr times vs) = (1, 0, 0) cdot (-1, -1, 0) = (1)(-1) + (0)(-1) + (0)(0) = -1 :
|d cdot (vr times vs)| = |-1| = 1
Tomamos o valor absoluto:
Passo 8
Calculamos a magnitude do produto vetorial |vr times vs| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 :