Calcule a distância entre as retas r e s descritas em coordenadas, respectivamente, por x1+x2=1, x3=0 e (1,1, t), onde t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. As retas são:
  • Reta r definida por:
    x1 + x2 = 1, x3 = 0
  • Reta s definida por:
    (1, 1, t), t in R
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre duas retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das duas retas. A reta r está no plano e a equação sugere que qualquer ponto nessa reta pode ser escrito como . Isso implica que o vetor diretor da reta r é .
A reta s é parametrizada por , onde varia. O vetor diretor da reta s é então .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou estão em posições inclinadas (skew). Para isso, analisamos os vetores diretores:
vr = (1, -1, 0) e vs = (0, 0, 1)
Como os vetores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas nem coincidentes. Portanto, elas estão em posições inclinadas no espaço.

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas inclinadas, usamos a seguinte fórmula:
Distância = |d cdot (vr times vs)||vr times vs| â
Onde:
  • é o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra.
  • e são os vetores diretores das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 5

Escolhemos pontos nas retas para formar o vetor d = B - A = (1 - 0, 1 - 1, 0 - 0) = (1, 0, 0) . Vamos escolher o ponto na reta r (quando ) e o ponto na reta s (quando ).
Então, o vetor é:

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial vr times vs = i & j & k 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 = ( (-1)(1) - (0)(0), (0)(0) - (1)(1), (1)(0) - (-1)(0) ) = (-1, -1, 0) :

Passo 7

Calculamos agora o produto escalar d cdot (vr times vs) = (1, 0, 0) cdot (-1, -1, 0) = (1)(-1) + (0)(-1) + (0)(0) = -1 :
|d cdot (vr times vs)| = |-1| = 1
Tomamos o valor absoluto:

Passo 8

Calculamos a magnitude do produto vetorial |vr times vs| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = 1raiz2 = raiz22 â

Resposta

A distância entre as retas e é .

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