Dados vetores
em
, mostre que
Sob que condições ocorre a igualdade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores
,
e
no espaço tridimensional
. A questão pede para a gente mostrar que o valor absoluto do produto misto
é menor ou igual ao produto das normas desses vetores, ou seja,
. Além disso, a gente precisa descobrir quando essa igualdade acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto vetorial, produto escalar e desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial
. Esse produto gera um novo vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
, e sua norma
é igual à área do paralelogramo formado por
e
. A fórmula para a norma do produto vetorial é:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o produto escalar entre
e
, que é
. Esse produto escalar representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e pode ser positivo ou negativo, por isso o valor absoluto:
Passo 4
Para mostrar que
, vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para o produto escalar. A desigualdade de Cauchy-Schwarz diz que para quaisquer vetores
e
em
:
Passo 5
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz ao nosso caso, temos:
Substituindo a expressão da norma do produto vetorial:
Sabemos que
, portanto:
O que quer dizer que:
Resposta
Portanto, mostramos que
. A igualdade ocorre quando todos os vetores
,
e
são mutuamente perpendiculares e os ângulos entre
e
são de
, de forma que
.
Exercícios relacionados
Calcule a distância entre as retas
e
descritas em coordenadas, respectivamente, por
e
, onde
Determine a área superficial e o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
Mostre que o plano
contendo a origem
e pontos
e
pode ser parametrizado por
onde
e
.
Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto
e perpendicular à reta
parametrizada por
, onde
.