Dados vetores em , mostre que
Sob que condições ocorre a igualdade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores , e no espaço tridimensional . A questão pede para a gente mostrar que o valor absoluto do produto misto é menor ou igual ao produto das normas desses vetores, ou seja, . Além disso, a gente precisa descobrir quando essa igualdade acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto vetorial, produto escalar e desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial . Esse produto gera um novo vetor que é perpendicular tanto a quanto a , e sua norma é igual à área do paralelogramo formado por e . A fórmula para a norma do produto vetorial é:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o produto escalar entre e , que é . Esse produto escalar representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e pode ser positivo ou negativo, por isso o valor absoluto:

Passo 4

Para mostrar que , vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para o produto escalar. A desigualdade de Cauchy-Schwarz diz que para quaisquer vetores e em :

Passo 5

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz ao nosso caso, temos:
Substituindo a expressão da norma do produto vetorial:
Sabemos que , portanto:
O que quer dizer que:

Resposta

Portanto, mostramos que . A igualdade ocorre quando todos os vetores , e são mutuamente perpendiculares e os ângulos entre e são de , de forma que .

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Determine a área superficial e o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e
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onde e .
Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto e perpendicular à reta parametrizada por , onde .