Determine a área superficial e o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores (1,1,0),(0,1,1) e (1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a área superficial e o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto vetorial e produto misto, para chegar nas respostas. Precisaremos calcular o volume usando o produto misto dos vetores e as áreas das faces usando o produto vetorial para depois somar tudo e achar a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo. O volume V = |a cdot (b times c)| pode ser encontrado usando o produto misto dos três vetores. O produto misto de três vetores a = (1,1,0), b = (0,1,1), c = (1,0,1) , b times c = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) e b times c = i(1) - j(-1) + k(-1) = (1, 1, -1) é dado por:
a cdot (b times c) = (1)(1) + (1)(1) + (0)(-1) = 1 + 1 + 0 = 2
Vamos identificar nossos vetores:
V = |2| = 2
Primeiro, encontramos o produto vetorial :
Agora, calculamos o produto escalar :
Portanto, o volume é o valor absoluto desse resultado:

Passo 3

Agora, vamos calcular a área superficial do paralelepípedo. Um paralelepípedo tem 6 faces, mas elas são opostas e iguais em área. Então, iremos calcular a área de três faces diferentes e depois dobrar a soma para obter a área total.
Cada face é um paralelogramo definido por dois dos vetores. A área de um paralelogramo formado por dois vetores A = |u times v| e a times b = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 0) é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
a times b = i(1) - j(1) + k(1) = (1, -1, 1)
Vamos calcular as áreas das três faces:
  1. Face formada por A1 = |a times b| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e a times c = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 1) :
a times c = i(1) - j(1) + k(-1) = (1, -1, -1)
A2 = |a times c| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
b times c = (1, 1, -1)
  1. Face formada por A3 = |b times c| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e :
  1. Face formada por e :
Já calculamos no Passo 2:

Passo 4

Agora, somamos as áreas das três faces diferentes e multiplicamos por 2 (já que cada face tem uma face oposta igual):
Atotal = 2(A1 + A2 + A3) = 2(raiz3 + raiz3 + raiz3) = 2 times 3raiz3 = 6raiz3

Resposta

A área superficial do paralelepípedo é unidades de área e o volume é unidades cúbicas.

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