Determine a área superficial e o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a área superficial e o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto vetorial e produto misto, para chegar nas respostas. Precisaremos calcular o volume usando o produto misto dos vetores e as áreas das faces usando o produto vetorial para depois somar tudo e achar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo. O volume pode ser encontrado usando o produto misto dos três vetores. O produto misto de três vetores , e é dado por:
Vamos identificar nossos vetores:
Primeiro, encontramos o produto vetorial:
Agora, calculamos o produto escalar:
Portanto, o volume é o valor absoluto desse resultado:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área superficial do paralelepípedo. Um paralelepípedo tem 6 faces, mas elas são opostas e iguais em área. Então, iremos calcular a área de três faces diferentes e depois dobrar a soma para obter a área total.
Cada face é um paralelogramo definido por dois dos vetores. A área de um paralelogramo formado por dois vetores e é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Vamos calcular as áreas das três faces:
Face formada por e :
Face formada por e :
Face formada por e :
Já calculamos no Passo 2:
Passo 4
Agora, somamos as áreas das três faces diferentes e multiplicamos por 2 (já que cada face tem uma face oposta igual):
Resposta
A área superficial do paralelepípedo é unidades de área e o volume é unidades cúbicas.