Determine a área superficial e o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a área superficial e o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto vetorial e produto misto, para chegar nas respostas. Precisaremos calcular o volume usando o produto misto dos vetores e as áreas das faces usando o produto vetorial para depois somar tudo e achar a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo. O volume pode ser encontrado usando o produto misto dos três vetores. O produto misto de três vetores , e é dado por:
Vamos identificar nossos vetores:
Primeiro, encontramos o produto vetorial:
Agora, calculamos o produto escalar:
Portanto, o volume é o valor absoluto desse resultado:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área superficial do paralelepípedo. Um paralelepípedo tem 6 faces, mas elas são opostas e iguais em área. Então, iremos calcular a área de três faces diferentes e depois dobrar a soma para obter a área total.
Cada face é um paralelogramo definido por dois dos vetores. A área de um paralelogramo formado por dois vetores A = |u times v| e a times b = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 0) é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
a times b = i(1) - j(1) + k(1) = (1, -1, 1)
Vamos calcular as áreas das três faces:
Face formada por A1 = |a times b| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e a times c = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 1) :