Mostre que o plano Pi contendo a origem O e pontos P0=(1,1,0) e P1=(0,1,1) pode ser parametrizado por
(s, s+t, t)
onde s in R e t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o plano Pi, que passa pela origem O e pelos pontos P0=(1,1,0) e P1=(0,1,1), pode ser descrito pela parametrização (s, s+t, t), onde s e t são números reais. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parametrização de planos, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar um plano. Um plano pode ser descrito usando um ponto fixo e dois vetores que estão dentro do plano. Nesse caso, o ponto fixo é a origem O = (0,0,0).

Passo 3

Agora, identificamos os vetores que estão no plano. Podemos usar os pontos dados para encontrar esses vetores:
  • O vetor de O para P0 é OP0 = (1,1,0).
  • O vetor de O para P1 é OP1 = (0,1,1).
Esses dois vetores vão servir como vetores diretores do plano.

Passo 4

Com o ponto fixo e os vetores diretores, a parametrização do plano pode ser escrita como:
r(s, t) = O + s cdot OP0 + t cdot OP1
Onde s e t são parâmetros reais. Substituindo os valores, temos:
r(s, t) = (0,0,0) + s cdot (1,1,0) + t cdot (0,1,1) = (s, s + t, t)

Passo 5

Finalmente, verificamos se essa parametrização realmente passa pelos pontos dados:
  • Para s=1 e t=0: (1,1+0,0) = (1,1,0) = P0.
  • Para s=0 e t=1: (0,0+1,1) = (0,1,1) = P1.
  • Para s=0 e t=0: (0,0,0) = O.
Isso confirma que a parametrização está correta.

Resposta

O plano Pi pode ser parametrizado por (s, s+t, t), onde s in R e t in R.

Exercícios relacionados