Mostre que o plano
contendo a origem
e pontos
e
pode ser parametrizado por
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o plano
, que passa pela origem
e pelos pontos
e
, pode ser descrito pela parametrização
, onde
e
são números reais. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parametrização de planos, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como parametrizar um plano. Um plano pode ser descrito usando um ponto fixo e dois vetores que estão dentro do plano. Nesse caso, o ponto fixo é a origem
.
Passo 3
Agora, identificamos os vetores que estão no plano. Podemos usar os pontos dados para encontrar esses vetores:
- O vetor de
para é . - O vetor de
para é .
Esses dois vetores vão servir como vetores diretores do plano.
Passo 4
Com o ponto fixo e os vetores diretores, a parametrização do plano pode ser escrita como:
Onde
e
são parâmetros reais. Substituindo os valores, temos:
Passo 5
Finalmente, verificamos se essa parametrização realmente passa pelos pontos dados:
- Para
e : . - Para
e : . - Para
e : .
Isso confirma que a parametrização está correta.
Resposta
O plano
pode ser parametrizado por
, onde
e
.
Exercícios relacionados
Dados vetores
em
, mostre que
Sob que condições ocorre a igualdade?
Calcule a distância entre as retas
e
descritas em coordenadas, respectivamente, por
e
, onde
Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto
e perpendicular à reta
parametrizada por
, onde
.
Determine o conjunto-solução do sistema de equações em
dado por
Represente geometricamente esse conjunto-solução.