Mostre que o plano contendo a origem e pontos e pode ser parametrizado por
onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o plano , que passa pela origem e pelos pontos e , pode ser descrito pela parametrização , onde e são números reais. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parametrização de planos, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar um plano. Um plano pode ser descrito usando um ponto fixo e dois vetores que estão dentro do plano. Nesse caso, o ponto fixo é a origem .

Passo 3

Agora, identificamos os vetores que estão no plano. Podemos usar os pontos dados para encontrar esses vetores:
  • O vetor de para é .
  • O vetor de para é .
Esses dois vetores vão servir como vetores diretores do plano.

Passo 4

Com o ponto fixo e os vetores diretores, a parametrização do plano pode ser escrita como:
Onde e são parâmetros reais. Substituindo os valores, temos:

Passo 5

Finalmente, verificamos se essa parametrização realmente passa pelos pontos dados:
  • Para e : .
  • Para e : .
  • Para e : .
Isso confirma que a parametrização está correta.

Resposta

O plano pode ser parametrizado por , onde e .

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