Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto e a reta parametrizada por , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto e também contém uma reta dada pela parametrização . Para isso, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • O plano passa pelo ponto .
  • O plano contém a reta parametrizada por . Isso significa que todo ponto dessa reta está no plano.
A reta pode ser escrita como , onde é um número real.

Passo 3

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ele. Sabemos que o plano contém a reta , então o vetor diretor dessa reta também está no plano. O vetor diretor da reta é .
Além disso, sabemos que o plano passa pelo ponto e também contém a reta . Vamos pegar um ponto qualquer da reta para ajudar. Por exemplo, quando , temos o ponto .

Passo 4

Agora, vamos encontrar um vetor que está no plano usando os pontos e . Esse vetor é dado por:
Então, temos dois vetores no plano: e .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de e é:
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Agora que temos o vetor normal e um ponto no plano, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
Onde é um ponto genérico no plano.

Passo 7

Substituindo e na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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((d) e Resp:
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