Determine uma equação cartesiana do plano Pi contendo o ponto (1,1,1) e a reta parametrizada por (1,0,0)+t(-1,1,0), onde t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto (1,1,1) e também contém uma reta dada pela parametrização (1,0,0) + t(-1,1,0). Para isso, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • O plano passa pelo ponto P(1,1,1).
  • O plano contém a reta parametrizada por (1,0,0) + t(-1,1,0). Isso significa que todo ponto dessa reta está no plano.
A reta pode ser escrita como r(t) = (1 - t, t, 0), onde t é um número real.

Passo 3

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ele. Sabemos que o plano contém a reta r(t), então o vetor diretor dessa reta também está no plano. O vetor diretor da reta é v = (-1, 1, 0).
Além disso, sabemos que o plano passa pelo ponto P(1,1,1) e também contém a reta r(t). Vamos pegar um ponto qualquer da reta para ajudar. Por exemplo, quando t = 0, temos o ponto Q(1,0,0).

Passo 4

Agora, vamos encontrar um vetor que está no plano usando os pontos P(1,1,1) e Q(1,0,0). Esse vetor é dado por:
PQ = Q - P = (1 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (0, -1, -1)
Então, temos dois vetores no plano: v = (-1, 1, 0) e PQ = (0, -1, -1).

Passo 5

Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de v e PQ é:
v times PQ = i & j & k -1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 0 cdot (-1)) - j(-1 cdot (-1) - 0 cdot 0) + k(-1 cdot (-1) - 1 cdot 0) = (-1)i - (1)j + (1)k
Então, o vetor normal é n = (-1, -1, 1).

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n = (-1, -1, 1) e um ponto P(1,1,1) no plano, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
n cdot (X - P) = 0
Onde X = (x, y, z) é um ponto genérico no plano.

Passo 7

Substituindo n e P na equação:
(-1)(x - 1) + (-1)(y - 1) + (1)(z - 1) = 0
Simplificando:
- x + 1 - y + 1 + z - 1 = 0 - x - y + z + 1 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
x + y - z - 1 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano Pi é x + y - z = 1.

Exercícios relacionados