Determine uma equação cartesiana do plano contendo o ponto e a reta parametrizada por , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto e também contém uma reta dada pela parametrização . Para isso, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de um ponto e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
O plano passa pelo ponto .
O plano contém a reta parametrizada por . Isso significa que todo ponto dessa reta está no plano.
A reta pode ser escrita como , onde é um número real.
Passo 3
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ele. Sabemos que o plano contém a reta , então o vetor diretor dessa reta também está no plano. O vetor diretor da reta é .
Além disso, sabemos que o plano passa pelo ponto e também contém a reta . Vamos pegar um ponto qualquer da reta para ajudar. Por exemplo, quando , temos o ponto .
Passo 4
Agora, vamos encontrar um vetor que está no plano usando os pontos e . Esse vetor é dado por:
Então, temos dois vetores no plano: e .
Passo 5
Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de e é:
Então, o vetor normal é n = (-1, -1, 1).
Passo 6
Agora que temos o vetor normal n = (-1, -1, 1) e um ponto P(1,1,1) no plano, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
n cdot (X - P) = 0
Onde X = (x, y, z) é um ponto genérico no plano.
Passo 7
Substituindo n e P na equação:
(-1)(x - 1) + (-1)(y - 1) + (1)(z - 1) = 0
Simplificando:
- x + 1 - y + 1 + z - 1 = 0 - x - y + z + 1 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar: