Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores diretores e produto vetorial. Vamos precisar das equações paramétricas das retas e aplicar uma fórmula específica para encontrar a distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas e de forma paramétrica para facilitar os cálculos.
Para a reta :
A equação dada é . Podemos expressar isso usando um parâmetro, digamos :
Então, um ponto na reta r é P1 = (1, 0, 0) e o vetor diretor é u = (-2, 2, 1).
Passo 3
Para a reta s:
A equação parametrizada é X = (0, 0, 2) + lambda (-2, 12, 1). Aqui, lambda é o parâmetro.
Então, um ponto na reta s é P2 = (0, 0, 2) e o vetor diretor é v = (-2, 12, 1).
Passo 4
Agora, precisamos usar a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço. A fórmula é:
Distância = |(P2 - P1) cdot (u times v)||u times v| â
Onde:
P1 e P2 são pontos nas retas r e s, respectivamente.
u e v são os vetores diretores das retas r e s.
times denota o produto vetorial.
cdot denota o produto escalar.
Passo 5
Vamos identificar os componentes da fórmula:
P2 - P1 = (0 - 1, 0 - 0, 2 - 0) = (-1, 0, 2)
Vetores diretores:
u = (-2, 2, 1)
v = (-2, 12, 1)
Passo 6
Calculamos o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k -2 & 2 & 1 -2 & 12 & 1
Resolvendo o determinante:
u times v = i(2 cdot 1 - 1 cdot 12) - j(-2 cdot 1 - 1 cdot -2) + k(-2 cdot 12 - 2 cdot -2)
Simplificando:
u times v = i(32) - j(0) + k(3)
Então,
u times v = (32, 0, 3)
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar (P2 - P1) cdot (u times v):