Calcule a distância entre as retas r e s: r:(x-1) /(-2)=2 y=z e s: X=(0,0,2)+lambda(-2,1 / 2,1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional, chamadas de r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores diretores e produto vetorial. Vamos precisar das equações paramétricas das retas e aplicar uma fórmula específica para encontrar a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas r e s de forma paramétrica para facilitar os cálculos.
Para a reta r:
A equação dada é (x-1)/(-2) = y/2 = z. Podemos expressar isso usando um parâmetro, digamos t:
x = 1 - 2t y = 2t z = t
Então, um ponto na reta r é P1 = (1, 0, 0) e o vetor diretor é u = (-2, 2, 1).

Passo 3

Para a reta s:
A equação parametrizada é X = (0, 0, 2) + lambda (-2, 12, 1). Aqui, lambda é o parâmetro.
Então, um ponto na reta s é P2 = (0, 0, 2) e o vetor diretor é v = (-2, 12, 1).

Passo 4

Agora, precisamos usar a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço. A fórmula é:
Distância = |(P2 - P1) cdot (u times v)||u times v| â
Onde:
  • P1 e P2 são pontos nas retas r e s, respectivamente.
  • u e v são os vetores diretores das retas r e s.
  • times denota o produto vetorial.
  • cdot denota o produto escalar.

Passo 5

Vamos identificar os componentes da fórmula:
  • P2 - P1 = (0 - 1, 0 - 0, 2 - 0) = (-1, 0, 2)
  • Vetores diretores:
    • u = (-2, 2, 1)
    • v = (-2, 12, 1)

Passo 6

Calculamos o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k -2 & 2 & 1 -2 & 12 & 1
Resolvendo o determinante:
u times v = i(2 cdot 1 - 1 cdot 12) - j(-2 cdot 1 - 1 cdot -2) + k(-2 cdot 12 - 2 cdot -2)
Simplificando:
u times v = i(32) - j(0) + k(3)
Então,
u times v = (32, 0, 3)

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar (P2 - P1) cdot (u times v):
(-1, 0, 2) cdot (32, 0, 3) = (-1) cdot 32 + 0 cdot 0 + 2 cdot 3 = -32 + 0 + 6 = 92
O valor absoluto desse resultado é 92.

Passo 8

Calculamos o módulo do produto vetorial |u times v|:
|u times v| = raiz(32)^2 + 0^2 + 3^2 = raiz94 + 0 + 9 = raiz9 + 364 = raiz454 = 3raiz52

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = 923raiz52 = 92 times 23raiz5 = 93raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55 â

Resposta

A distância entre as retas r e s é 3raiz55 unidades.

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