Identifique as seguintes cônicas:
21 x^2+58 x y+21 y^2-18 raiz2 x-82 raiz2 y-278=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação que temos:
21 x^2 + 58 x y + 21 y^2 - 18 raiz2 x - 82 raiz2 y - 278 = 0
Esse é um tipo de equação que representa uma cônica, que pode ser um círculo, elipse, parábola ou hipérbole. Para identificar qual delas estamos lidando, vamos precisar entender um pouco sobre as cônicas e como diferenciá-las usando os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma equação de segundo grau em duas variáveis:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
Comparando com a nossa equação, identificamos os coeficientes:

Passo 3

Para identificar qual cônica temos, usamos o discriminante da cônica, que é calculado pela fórmula:
De
Esse valor nos ajuda a determinar o tipo da cônica:
  • Se : a cônica é uma elipse (ou um círculo, se e ).
  • Se : a cônica é uma parábola.
  • Se : a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante para a nossa equação:
De
Calculando cada parte:
  • De
Então:

Passo 5

Agora, analisamos o valor de De 0:
Como o discriminante é maior que zero, concluímos que a cônica representada pela equação é uma hipérbole.

Resposta

A cônica representada pela equação dada é uma hipérbole.

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