Estude a posição relativa de r e pi: r: X=(2,2,1)+lambda(3,3,0) e pi: X=(1,0,1)+lambda(1,1,1)+mu(0,0,3)

Passo 1

Vamos analisar a posição relativa da reta e do plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e normais. Precisamos verificar se a reta está contida no plano, se é paralela a ele ou se intersecta o plano em um ponto.

Passo 2

Primeiro, identificamos a direção da reta X = (2, 2, 1) + lambda(3, 3, 0) . A equação paramétrica da reta é:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Em seguida, determinamos a normal do plano X = (1, 0, 1) + lambda(1, 1, 1) + mu(0, 0, 3) . A equação paramétrica do plano é:
Os vetores diretores do plano são e .

Passo 4

Calculamos o vetor normal n = u times v = i & j & k 1 & 1 & 1 0 & 0 & 3 = (3, -3, 0) do plano usando o produto vetorial dos vetores diretores:

Passo 5

Verificamos se a reta dr cdot n = (3, 3, 0) cdot (3, -3, 0) = 9 - 9 + 0 = 0 é paralela ao plano calculando o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.

Passo 6

Para confirmar se a reta está contida no plano ou apenas paralela, substituímos um ponto da reta na equação do plano. Tomamos n cdot (X - X0) = 0 (3, -3, 0) cdot (2-1, 2-0, 1-1) = 3(1) + (-3)(2) + 0(0) = 3 - 6 = -3 neq 0 , então o ponto é .
Substituindo na equação do plano:
Como o ponto não satisfaz a equação do plano, a reta é apenas paralela e não está contida no plano.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não está contida nele.

Exercícios relacionados