Estude a posição relativa de r e pi: r:lx=1+lambda y=1-lambda pi: x+y-z+2=0 z=lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estudarmos a posição relativa entre a reta e o plano . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano. Nosso objetivo é descobrir se a reta corta o plano, é paralela ou está contida nele.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações da reta x = 1 + lambda y = 1 - lambda z = lambda e do plano x + y - z + 2 = 0 :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro.
Para o plano :
Essa é a equação geral do plano.

Passo 3

Agora, para descobrir a relação entre a reta e o plano, vamos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano. Isso quer dizer que vamos substituir (1 + lambda) + (1 - lambda) - lambda + 2 = 0 , e pelas expressões que temos em função de .
Substituindo na equação do plano:

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante para encontrar o valor de 1 + lambda + 1 - lambda - lambda + 2 = 0 :
(1 + 1 + 2) + (lambda - lambda - lambda) = 0 4 - lambda = 0
Somando os termos semelhantes:
lambda = 4
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que encontramos x = 1 + 4 = 5 y = 1 - 4 = -3 z = 4 , vamos substituir esse valor nas equações paramétricas da reta para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

A reta intercepta o plano no ponto . Ou seja, elas se cruzam em um único ponto.

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