Identifique o conjunto dos pontos
que satisfazem a cada equação dada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau com as variáveis
e
. Nosso objetivo é descobrir qual tipo de forma geométrica essa equação representa e quais são os pontos
que satisfazem ela. Para resolver isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado, que ajuda a reescrever a equação de uma forma mais fácil de identificar a figura geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos com
e os termos com
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Antes disso, vamos fatorar os coeficientes das parcelas quadráticas:
Passo 4
Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários dentro dos parênteses. Lembra que a fórmula para completar o quadrado de
é
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Expande e simplifica:
Passo 6
Agora, observamos que a soma de dois termos quadráticos igual a zero só acontece quando cada termo é zero:
Isso significa que:
Resposta
O conjunto dos pontos que satisfazem a equação é o ponto
.