Identifique o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a cada equação dada a seguir.
2 x^2+5 y^2-20 x+10 y+55=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau com as variáveis e . Nosso objetivo é descobrir qual tipo de forma geométrica essa equação representa e quais são os pontos que satisfazem ela. Para resolver isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado, que ajuda a reescrever a equação de uma forma mais fácil de identificar a figura geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos com 2x^2 - 20x + 5y^2 + 10y + 55 = 0 e os termos com :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 2(x^2 - 10x) + 5(y^2 + 2y) + 55 = 0 e de . Antes disso, vamos fatorar os coeficientes das parcelas quadráticas:

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários dentro dos parênteses. Lembra que a fórmula para completar o quadrado de x^2 - 10x (x - 5)^2 - 25 é y^2 + 2y (y + 1)^2 - 1 :
Para :
Para :

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
2[(x - 5)^2 - 25] + 5[(y + 1)^2 - 1] + 55 = 0
Expande e simplifica:
2(x - 5)^2 - 50 + 5(y + 1)^2 - 5 + 55 = 0
2(x - 5)^2 + 5(y + 1)^2 = 0

Passo 6

Agora, observamos que a soma de dois termos quadráticos igual a zero só acontece quando cada termo é zero:
2(x - 5)^2 = 0 e 5(y + 1)^2 = 0
Isso significa que:
x - 5 = 0 Rightarrow x = 5
y + 1 = 0 Rightarrow y = -1

Resposta

O conjunto dos pontos que satisfazem a equação é o ponto .

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