Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com o cálculo de distância entre retas paralelas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas, encontrar vetores diretores e usar a fórmula da distância entre retas paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
Reta :
Reta :
Essas equações estão na forma paramétrica, onde podemos expressar , e em termos de um parâmetro.
Passo 3
Vamos reescrever as equações das retas de forma paramétrica para facilitar:
Para a reta , vamos usar como parâmetro:
Para a reta , vamos usar como parâmetro:
Passo 4
Agora, identificamos os vetores diretores das retas:
Vetor diretor de :
Vetor diretor de :
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas.
Passo 5
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte fórmula:
d = |PQ times v||v|
onde:
é o vetor entre um ponto da reta e um ponto da reta ,
é o vetor diretor comum das duas retas,
representa o produto vetorial,
representa o módulo (ou comprimento) do vetor.
Passo 6
Escolhemos pontos qualquer em cada reta. Vamos pegar:
Ponto em PQ = Q - P = (3 - 0, -1 - 3, 2 - 2) = (3, -4, 0) : Quando , .
Ponto em : Quando , .
Agora, calculamos o vetor :
Passo 7
Calculamos o produto vetorial PQ times v = i & j & k 3 & -4 & 0 1 & 2 & 1 = i((-4)(1) - (0)(2)) - j((3)(1) - (0)(1)) + k((3)(2) - (-4)(1)) :