Calcule a distância entre as retas r e s: r: x=(y-3) / 2=z-2 e s: x-3=(y+1) / 2=z-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com o cálculo de distância entre retas paralelas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas, encontrar vetores diretores e usar a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
  • Reta :
  • Reta :
Essas equações estão na forma paramétrica, onde podemos expressar , e em termos de um parâmetro.

Passo 3

Vamos reescrever as equações das retas de forma paramétrica para facilitar:
Para a reta x = t y = 2t + 3 z = t + 2 , vamos usar x = 3 + s y = 2s - 1 z = 2 + s como parâmetro:
Para a reta , vamos usar como parâmetro:

Passo 4

Agora, identificamos os vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor de :
  • Vetor diretor de :
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas.

Passo 5

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte fórmula:
d = |PQ times v||v|
onde:
  • é o vetor entre um ponto da reta e um ponto da reta ,
  • é o vetor diretor comum das duas retas,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o módulo (ou comprimento) do vetor.

Passo 6

Escolhemos pontos qualquer em cada reta. Vamos pegar:
  • Ponto em PQ = Q - P = (3 - 0, -1 - 3, 2 - 2) = (3, -4, 0) : Quando , .
  • Ponto em : Quando , .
Agora, calculamos o vetor :

Passo 7

Calculamos o produto vetorial PQ times v = i & j & k 3 & -4 & 0 1 & 2 & 1 = i((-4)(1) - (0)(2)) - j((3)(1) - (0)(1)) + k((3)(2) - (-4)(1)) :
= i(-4) - j(3) + k(6 + 4)
= (-4, -3, 10)

Passo 8

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|PQ times v| = raiz(-4)^2 + (-3)^2 + 10^2 = raiz16 + 9 + 100 = raiz125 = 5raiz5
E o módulo do vetor diretor:
|v| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 9

Aplicamos a fórmula da distância:
d = 5raiz5raiz6 = 5raiz306 approx 4,56

Resposta

A distância entre as retas e é unidades, aproximadamente 4,56 unidades.

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