Calcule a distância entre as retas r e s: r: y=3 z-2=3 x+1 e s: 3 x-2 z+3=0=y-z-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a distância entre duas retas no espaço, chamadas y = 3z - 2 e y = 3x + 1 e 3x - 2z + 3 = 0 e y - z - 2 = 0 . As equações das retas são:
  • Reta :
  • Reta :
Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica no espaço. Precisamos encontrar um ponto em cada reta e as direções dessas retas para aplicar a fórmula da distância entre duas retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto e um vetor direção para a reta y = 3z - 2 e y = 3x + 1 . Temos as equações:
3z - 2 = 3x + 1
Podemos igualar as duas expressões para 3z - 3x = 3 Rightarrow z - x = 1 Rightarrow z = x + 1 :
z = t + 1 e y = 3t + 1
Simplificando:
r(t) = (t, 3t + 1, t + 1)
Agora, parametricamente, podemos expressar , então:
Portanto, a reta pode ser escrita como:
Então, um ponto na reta é e o vetor direção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar um ponto e um vetor direção para a reta 3x - 2z + 3 = 0 e y - z - 2 = 0 . As equações são:
y = t + 2
Vamos resolver essas equações para expressar 3x - 2t + 3 = 0 Rightarrow 3x = 2t - 3 Rightarrow x = 2t - 33 , s(t) = (2t - 33, t + 2, t) e em termos de um parâmetro. Vamos escolher .
Então:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, a reta pode ser escrita como:
Um ponto na reta é (quando ) e o vetor direção é .

Passo 4

Agora que temos os pontos d = |(B - A) cdot (dr times ds)||dr times ds| na reta e na reta , além dos vetores direções e , vamos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço.
A distância entre duas retas pode ser calculada usando:
Aqui, é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular B - A = (-1 - 0, 1 - 1, 0 - 1) = (-1, 0, -1) :
dr times ds = i & j & k 1 & 3 & 1 23 & 1 & 1
Agora, vamos calcular o produto vetorial i(3 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 23 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 3 cdot 23) = i(2) - j(13) + k(1 - 2) = (2, -13, -1) :
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (-1, 0, -1) cdot (2, -13, -1) = (-1)(2) + (0)(-13) + (-1)(-1) = -2 + 0 + 1 = -1 :
O módulo desse produto escalar é .

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo do vetor |dr times ds| = raiz2^2 + (-13)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 19 + 1 = raiz5 + 19 = raiz469 = raiz463 :

Passo 8

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = 1raiz463 = 3raiz46 = 3raiz4646

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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