Calcule a distância entre as retas
e
:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a distância entre duas retas no espaço, chamadas
e
. As equações das retas são:
-
Reta
: -
Reta
:
Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica no espaço. Precisamos encontrar um ponto em cada reta e as direções dessas retas para aplicar a fórmula da distância entre duas retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto e um vetor direção para a reta
. Temos as equações:
Podemos igualar as duas expressões para
:
Simplificando:
Agora, parametricamente, podemos expressar
, então:
Portanto, a reta
pode ser escrita como:
Então, um ponto na reta
é
e o vetor direção é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um ponto e um vetor direção para a reta
. As equações são:
Vamos resolver essas equações para expressar
,
e
em termos de um parâmetro. Vamos escolher
.
Então:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, a reta
pode ser escrita como:
Um ponto na reta
é
(quando
) e o vetor direção é
.
Passo 4
Agora que temos os pontos
na reta
e
na reta
, além dos vetores direções
e
, vamos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço.
A distância
entre duas retas pode ser calculada usando:
Aqui,
é o vetor que vai de
até
, e
representa o produto vetorial.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, vamos calcular o produto vetorial
:
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
(-1, 0, -1) cdot (2, -13, -1) = (-1)(2) + (0)(-13) + (-1)(-1) = -2 + 0 + 1 = -1 :
O módulo desse produto escalar é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo do vetor
|dr times ds| = raiz2^2 + (-13)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 19 + 1 = raiz5 + 19 = raiz469 = raiz463 :
Passo 8
Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
Resposta
A distância entre as retas
e
é
unidades.