Considere as matrizes
e
com respectivas ordens:
e
. Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de operações com matrizes! Aqui, vamos lidar com somas e produtos de matrizes, então precisamos lembrar das regras de dimensões para essas operações. Para cada expressão, vamos verificar se as operações são possíveis e, se forem, determinar a ordem (dimensões) da matriz resultante.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos analisar cada termo:
-
Produto
: - Matriz
tem ordem . - Matriz
tem ordem . - Para multiplicar
por , o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Aqui, 3 = 3, então a multiplicação é possível. - A ordem resultante será
.
- Matriz
-
Transposta
: - Matriz
tem ordem . - A transposta de
, , terá ordem .
- Matriz
Agora, queremos somar
e
. Para somar duas matrizes, elas precisam ter a mesma ordem.
- Ordem de
: - Ordem de
:
Como as ordens são diferentes, não é possível somar
e
.
Passo 3
Parte (b)
Vamos primeiro analisar o que está dentro dos parênteses:
-
Transposta
: - Matriz
tem ordem . -
tem ordem .
- Matriz
-
Matriz
: - Matriz
tem ordem .
- Matriz
Queremos somar
e
:
- Ordem de
: - Ordem de
:
As matrizes têm ordens diferentes, então não é possível somar
e
. Portanto, toda a expressão
não pode ser realizada.
Passo 4
Parte ©
Vamos analisar cada termo:
-
Produto
: - Matriz
tem ordem . - Matriz
tem ordem . - Para multiplicar
por , o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Aqui, 3 = 3, então a multiplicação é possível. - A ordem resultante será
.
- Matriz
-
Matriz
: - Matriz
tem ordem .
- Matriz
Agora, queremos somar
e
. Como ambas as matrizes têm a ordem
, a soma é possível.
- Ordem de
: - Ordem de
:
Passo 5
Parte (d)
Primeiro, vamos analisar o que está dentro dos parênteses:
- Produto
: - Matriz
tem ordem . - Matriz
tem ordem . - Para multiplicar
por , o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Aqui, 5 ≠ 4, então a multiplicação não é possível.
- Matriz
Como o produto
não pode ser realizado, toda a expressão
também não pode ser realizada.
Resposta
Analisando todas as expressões:
- (a)
: Não é possível somar, porque as matrizes têm ordens e . - (b)
: Não é possível somar e , então a expressão não pode ser realizada. - ©
: Possível de somar, resultando em uma matriz de ordem . - (d)
: Não é possível multiplicar por , então a expressão não pode ser realizada.
Portanto, somente a expressão ©
é possível, e a matriz resultante tem ordem
.