Considere as retas r: X=(-1,2,0)+t(i+j) e s:lx=-2 t y=-1 z=-2 t
Calcule a medida angular entre r es.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem duas retas no espaço, chamadas de e , definidas por suas equações vetoriais. O objetivo é calcular o ângulo entre essas duas retas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e o produto escalar, que ajudam a encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica a direção em que a reta está apontando.
Para a reta lx = -2t y = -1 z = -2t:
A equação é .
Aqui, o vetor diretor é .
Para a reta :
A equação é .
Aqui, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
cos(theta) = vr cdot vs|vr| times |vs|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar vr cdot vs = (1)(-2) + (1)(0) + (0)(-2) = -2 + 0 + 0 = -2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:
Para |vr| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 :
|vs| = raiz(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -2raiz2 times 2raiz2 = -22 times 2 = -24 = -0,5

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta = cos^-1(-0,5) = 120^circ , tiramos o arco cosseno de -0,5:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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