Calcule o div , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A questão pede para calcular o div , onde . Isso está relacionado ao conteúdo de divergência de um campo vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a divergência usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Se , a divergência é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada componente de em relação à sua própria variável e somar os resultados.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
  1. Primeira componente :
Porque é tratada como constante ao derivar em relação a .
  1. Segunda componente :
Aqui, é constante em relação a .
  1. Terceira componente :
e são constantes em relação a .

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:

Resposta

A divergência do campo vetorial é:

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Esboce o gráfico das seguintes funções:
Encontre o domínio das seguintes funções:
Seja . A função é contínua em ? Justifique a sua resposta!
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
16.