Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
16.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa achar uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional e o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se o rotacional dele for igual a zero. Ou seja, precisamos calcular
e ver se dá o vetor nulo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional
. Se
, então:
Substituindo os valores de
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Como o rotacional de
é zero, o campo é conservativo. Agora, precisamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações:
- Integrando
em relação a :
- Agora, diferenciamos
em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a
:
- Substituindo
na expressão de :
- Por fim, diferenciamos
em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Podemos ignorar a constante ou considerar que ela é zero.
Resposta
O campo vetorial é conservativo e uma função
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Seja
. A função é contínua em
? Justifique a sua resposta!
Calcule o div
, onde
.
Determine
.
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
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