Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa achar uma função tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional e o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se o rotacional dele for igual a zero. Ou seja, precisamos calcular e ver se dá o vetor nulo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional . Se , então:
Substituindo os valores de :
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo. Agora, precisamos encontrar a função tal que . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações:
  1. Integrando em relação a :
  1. Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
  1. Substituindo na expressão de :
  1. Por fim, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Podemos ignorar a constante ou considerar que ela é zero.

Resposta

O campo vetorial é conservativo e uma função que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Seja . A função é contínua em ? Justifique a sua resposta!
Calcule o div , onde .
Determine .
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
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