Seja . A função é contínua em ? Justifique a sua resposta!
Passo 1
Então, a gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes: quando não é zero e quando é zero. A questão é saber se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: está definida? Sim, pelo enunciado, . Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de quando se aproxima de 0. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 5
Vamos dividir o limite em duas partes para facilitar:
Sabemos que .
Passo 6
Agora, vamos focar no segundo termo: . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Passo 7
Multiplicando todas as partes da desigualdade por , que é positivo, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:
Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema Sandwich), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
Passo 9
Voltando ao limite original:
Então, o limite de quando se aproxima de 0 é 5.
Passo 10
Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite que encontramos (5) é igual a que é 0? Não, 5 não é igual a 0.
Resposta
Não, a função não é contínua em . Isso porque o limite quando se aproxima de 0 é 5, mas é 0, então eles não são iguais.