Seja
. A função é contínua em
? Justifique a sua resposta!
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é definida de duas maneiras diferentes: quando
não é zero e quando
é zero. A questão é saber se essa função é contínua no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
está definida? Sim, pelo enunciado,
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 5
Vamos dividir o limite em duas partes para facilitar:
Sabemos que
.
Passo 6
Agora, vamos focar no segundo termo:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Passo 7
Multiplicando todas as partes da desigualdade por
, que é positivo, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:
Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema Sandwich), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
Passo 9
Voltando ao limite original:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 é 5.
Passo 10
Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite que encontramos (5) é igual a
que é 0? Não, 5 não é igual a 0.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
. Isso porque o limite quando
se aproxima de 0 é 5, mas
é 0, então eles não são iguais.