Seja . A função é contínua em ? Justifique a sua resposta!

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes: quando não é zero e quando é zero. A questão é saber se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: está definida? Sim, pelo enunciado, . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: calcular o limite de quando se aproxima de 0. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 5

Vamos dividir o limite em duas partes para facilitar:
Sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos focar no segundo termo: . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:

Passo 7

Multiplicando todas as partes da desigualdade por , que é positivo, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:
Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema Sandwich), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:

Passo 9

Voltando ao limite original:
Então, o limite de quando se aproxima de 0 é 5.

Passo 10

Por fim, vamos verificar a terceira condição: o limite que encontramos (5) é igual a que é 0? Não, 5 não é igual a 0.

Resposta

Não, a função não é contínua em . Isso porque o limite quando se aproxima de 0 é 5, mas é 0, então eles não são iguais.

Exercícios relacionados

Calcule o div , onde .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
16.
Determine .