Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso pertence ao conteúdo de funções, mais especificamente de funções quadráticas e valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto afeta o gráfico de uma função quadrática e identificar os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática que pode ser reescrita como . Para entender melhor o gráfico, vamos encontrar as raízes dessa função, ou seja, os valores de que fazem .

Passo 3

Resolvendo a equação , podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções: e . Esses pontos são importantes porque são onde a função dentro do valor absoluto muda de sinal, afetando o gráfico de .

Passo 4

Agora, vamos considerar os intervalos determinados por essas raízes para entender como o valor absoluto vai influenciar :
  1. Para : é positivo, já que o termo quadrático domina e é positivo.
  2. Para : é negativo.
  3. Para : é positivo.
Como estamos lidando com o valor absoluto, o gráfico de vai refletir todas as partes onde a expressão dentro do valor absoluto é negativa para cima.

Passo 5

Vamos então definir sem o valor absoluto, considerando os diferentes intervalos:
  • Para e :
  • Para :
Isso significa que no intervalo , o gráfico será a reflexão do gráfico original em relação ao eixo .

Passo 6

Agora, vamos traçar os pontos-chave para esboçar o gráfico:
  1. Vértice da parábola : O vértice ocorre em . Substituindo na função:
    Mas como nessa faixa , o ponto fica .
  2. Interseções com o eixo : Já sabemos que são e .
  3. Comportamento nas extremidades:
    • Para , cresce positivamente.
    • Para , também cresce positivamente.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Para e , desenhamos a parábola .
  • Para , desenhamos a parábola invertida .
  • Os pontos de conexão são e , garantindo que o gráfico seja contínuo.
  • O vértice no intervalo é , que é o ponto mais alto nessa parte do gráfico.

Resposta

O gráfico da função é composto por duas parábolas: uma normal para e , e uma invertida para , conectando-se nos pontos e , com o vértice da parte invertida em .

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