Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso pertence ao conteúdo de funções, mais especificamente de funções quadráticas e valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto afeta o gráfico de uma função quadrática e identificar os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática que pode ser reescrita como . Para entender melhor o gráfico, vamos encontrar as raízes dessa função, ou seja, os valores de que fazem .
Passo 3
Resolvendo a equação , podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções: e . Esses pontos são importantes porque são onde a função dentro do valor absoluto muda de sinal, afetando o gráfico de .
Passo 4
Agora, vamos considerar os intervalos determinados por essas raízes para entender como o valor absoluto vai influenciar :
Para : é positivo, já que o termo quadrático domina e é positivo.
Para : é negativo.
Para : é positivo.
Como estamos lidando com o valor absoluto, o gráfico de vai refletir todas as partes onde a expressão dentro do valor absoluto é negativa para cima.
Passo 5
Vamos então definir sem o valor absoluto, considerando os diferentes intervalos:
Para e :
Para :
Isso significa que no intervalo , o gráfico será a reflexão do gráfico original em relação ao eixo .
Passo 6
Agora, vamos traçar os pontos-chave para esboçar o gráfico:
Vértice da parábola : O vértice ocorre em . Substituindo na função:
Mas como nessa faixa , o ponto fica .
Interseções com o eixo : Já sabemos que são e .
Comportamento nas extremidades:
Para , cresce positivamente.
Para , também cresce positivamente.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
Para e , desenhamos a parábola .
Para , desenhamos a parábola invertida .
Os pontos de conexão são e , garantindo que o gráfico seja contínuo.
O vértice no intervalo é , que é o ponto mais alto nessa parte do gráfico.
Resposta
O gráfico da função é composto por duas parábolas: uma normal para e , e uma invertida para , conectando-se nos pontos e , com o vértice da parte invertida em .