Calcule
e
para cada um dos campos abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a divergência (
) e o rotacional (
) do campo vetorial
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as fórmulas para divergência e rotacional. Vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Ou seja, a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
Passo 5
Vamos calcular agora o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Ou seja, é um vetor cujas componentes são combinações das derivadas parciais das componentes de
.
Passo 6
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Resposta
A divergência do campo
é:
E o rotacional do campo
é: