Calcule e para cada um dos campos abaixo.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a divergência ( ) e o rotacional ( ) do campo vetorial . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as fórmulas para divergência e rotacional. Vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Ou seja, a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:

Passo 5

Vamos calcular agora o rotacional de . O rotacional é dado por:
Ou seja, é um vetor cujas componentes são combinações das derivadas parciais das componentes de .

Passo 6

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Resposta

A divergência do campo é:
E o rotacional do campo é:

Exercícios relacionados

c) O supremo do conjunto é 4.
Dado , calcule o fluxo do campo através do hemisfério superior da esfera de raio , descrito como , com .
Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo:
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