Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo: sumn=1^infty n sin (1n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos analisar se a série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Vamos examinar o comportamento geral dos termos da série. Para isso, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de sin(1n) approx 1n , a função seno pode ser aproximada por . Assim, para , temos:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de an = n sin(1n) approx n cdot 1n = 1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty an = limn to infty n sin(1n) = 1 quando tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), se o limite de não for zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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