Dado , calcule o fluxo do campo através do hemisfério superior da esfera de raio , descrito como , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo através do hemisfério superior de uma esfera de raio . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente a operação de rotacional (ou ) e o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e, em seguida, como integrar esse rotacional sobre a superfície do hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Assim, o rotacional fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo desse rotacional através do hemisfério superior da esfera. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície. No nosso caso, .
Como o rotacional é constante e aponta na direção , podemos simplificar a integral. A normal ao hemisfério superior também tem uma componente na direção . De fato, para uma esfera, a integral do vetor normal sobre a superfície do hemisfério superior é igual a:
Portanto, o fluxo fica:

Resposta

O fluxo do campo através do hemisfério superior é .

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Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a) e a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , .
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e a superfície do tetraedro no octante, limitado por pelos planos coordenados.
c) O supremo do conjunto é 4.
Calcule e para cada um dos campos abaixo.
(b) .