Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para estudar se a série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Raiz e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem o termo alternado , ou seja, . Queremos verificar se essa versão da série converge ou diverge.

Passo 3

Vamos simplificar a razão dentro da potência:
Isso nos sugere que se comporta aproximadamente como para grandes valores de .

Passo 4

Agora, consideramos a série . Sabemos que séries do tipo convergem se e divergem caso contrário. No nosso caso, , então essa série diverge.

Passo 5

Como a série sem o termo alternado diverge, isso nos indica que a série original pode não convergir absolutamente. Mas ainda precisamos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos se:
  1. é uma sequência decrescente.
  2. .
Calculando o limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo:
Calcule e para cada um dos campos abaixo.
(b) .
Use o Teorema de Stokes para calcular , onde e é a curva interseção do cilindro com o plano .
Usando o Teorema de Gauss para obter o fluxo do campo através da superfície (orientada positivamente) onde e é a fronteira do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .