Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para estudar se a série
converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Raiz e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série sem o termo alternado
, ou seja,
. Queremos verificar se essa versão da série converge ou diverge.
Passo 3
Vamos simplificar a razão dentro da potência:
Isso nos sugere que
se comporta aproximadamente como
para grandes valores de
.
Passo 4
Agora, consideramos a série
. Sabemos que séries do tipo
convergem se
e divergem caso contrário. No nosso caso,
, então essa série diverge.
Passo 5
Como a série sem o termo alternado diverge, isso nos indica que a série original
pode não convergir absolutamente. Mas ainda precisamos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 6
Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos se:
-
é uma sequência decrescente. -
.
Calculando o limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série diverge.
Resposta
A série
diverge.