Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
a)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A matéria envolvida aqui é o cálculo de divergência, que utiliza derivadas parciais para medir como o campo se expande ou contrai em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de divergência. Para um campo vetorial , a divergência é dada por:
Isso significa que vamos calcular a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a e somar os resultados.

Passo 3

No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:

Resposta

A divergência do campo vetorial é .

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Calcule , onde é a porção de de a .
Seja dada por . Mostre que existem um aberto contendo , um aberto contendo e uma função tais que é a inversa de . Determine .
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.