Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular a divergência do campo vetorial
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de divergência, que utiliza derivadas parciais para medir como o campo se expande ou contrai em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de divergência. Para um campo vetorial
, a divergência é dada por:
Isso significa que vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial de
em relação a
e somar os resultados.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, somamos as duas derivadas parciais para encontrar a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a porção de
de
a
.
Seja
dada por
. Mostre que existem um aberto
contendo
, um aberto
contendo
e uma função
tais que
é a inversa de
. Determine
.
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b)
b)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.